浅谈对“HL”件的一点认识

摘 要：初一学生的数学思维正在从形象思维到抽象思维过渡，在学习中还存有很大的模仿性，三角形全等的条件有多种，但很多同学经常误用“SSA”证明三角形全等，把“SSA”与直角三角形的全等条件“hl”混淆。

关键词：

中图分类号：G421 文献标识码：A

文章编号：1992-7711（2012）10-085-1

今年是新教材在南京全面试点的第二年。对于新教材而言我们在一线的老师都是“摸着石头过河”，尝试新的教学手段和教学方法。笔者借此机会，谈一谈自己在“三角形全等的条件”这节课的教学中所遇到的一些问题以及解决这些问题的方法。

“三角形全等的条件”是初中数学的一个重点，也是一个难点。我们都知道一般的三角形全等的条件有四种：“边边边（SSS）”、“角角边（AAS）”、“角边角（ASA）”、“边角边（SAS）”；而在这四种条件中，“边角边（SAS）”条件在运用的过程当中很容易被学生误用。在一般三角形全等的证明过程中，把“边角边（SAS）”条件用一个不是条件的条件替代了，即把“边角边（SAS）”误用为“边边角（SSA）”，这是三角形全等教学中最让教师头疼的问题之一。当然，存在这样的问题的原因很多，最主要的原因是学生在学习时对“边角边”条件的理解不够深刻（除一部分接受能力较强的学生外）。虽然上课时学生在自己动手作三角形的过程中能够发现“边边角”条件不能使得到的三角形一定全等。而且，教师在作总结时会强调：通过刚才我们的经历，我们可以看到“两边一角”的情况，只有“两边夹一角”时，两个三角形才会全等。但是，学生在运用中还是容易出现误用。然而，在教科书上会有意无意地出现类似用“边边角”条件证明三角形全等的情况，从而使学生迷惑。例如，初一新教材的第五章第八节“探索直角三角形全等的条件”一课中，就出现了如下的证明过程：

①BC=EF，AC=CF

∠CAB=∠FDE=90°ABC≌DEF

这个证明步骤在本节的正确性是不容置疑的，我们立刻就能看出，BC=EF，AC=CF是交代了一条斜边和一条直角边对应相等，∠CAB=∠FDE=90°意思是说：这是两个直角三角形，这是一个利用“直角三角形全等的条件”中的“斜边、直角边”条件，即我们所说的“HL”条件，学生在这里也容易明白是这个意思。但是，对于我们初一的学生而言，他们刚从小学升入初中不久，数学思维正在逐步从形象思维过渡到抽象思维，在学习中还存有很大的模仿性，对于形象的事物容易记忆、了解，对于抽象的理论较难理解。那么这样的一个证明步骤，必然会误导学生，产生错误的想法，即认为“边边角”条件对于证明两个三角形全等是成立的。

在翻阅了新旧教材之后，我发现旧教材在这个问题上采用了比较直接的方法，正面引导学生“边边角”条件只有在证明直角三角形这样的特殊三角形的前提下才适用，即“斜边、直角边”条件（HL）。在96年出版的《初中数学教案（几何）》一书中，常州市教育局教研室的杨欲前老师和常州市二十一中的杨秋萍老师在他们共同编写的教案《直角三角形全等的判定》中就这样引导学生：“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？”，然后通过作直角三角形，得出结论“全等”，从而推导出“斜边、直角边”（HL）条件。因此，虽然我们说三角形的全等的条件中没有“边边角”条件这一说法，但是，在我们许多的老师头脑中它（即“边边角”）还是一直存在的。而新教材在处理这一问题上，只是给出了一个证明步骤（即①）实际上也就是默认了，从这点上来看，新旧教材在这一问题上的本意还是一样的。

这样的问题，在教学中是很难把握的，于是在教学的具体过程中，我做了如下的设计：我将“斜边、直角边”（HL）条件向三角形全等条件的“边边边”条件靠拢，即把直角三角形的全等条件“斜边、直角边”（HL）条件，看成是弱化的“边边边”条件。

首先，介绍直角三角形的作法，我给出具体条件：“直角三角形的斜边AB=5cm，一条直角边BC=3cm。请同学们自己动手在草稿纸上画出相应的直角三角形”，在学生完成画图并相互比较，得出“全等”的结论之后，我又给出条件：“如果直角三角形的斜边AB=13cm,一条直角边BC=5cm。你能画出相应的直角三角形吗？它们还一定全等吗？”学生完成上述两个画图过程，并互相比较、归纳得出结论：只要知道了两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，就能够判断这两个直角三角形全等，即得到直角三角形全等条件的“斜边、直角边”（HL）条件。之后，我告诉学生，第一个所画的直角三角形的另一条直角边为4cm,许多同学都投来怀疑的目光，于是我让学生用刻度尺进行测量，结果大多数学生测量出来的结果都是4cm（当然也有少数学生的测量结果和大家不一致，不过误差都不大），于是，全班学生都很兴奋，他们不知道这是巧合，还是必然出现的事实，还没有等我让他们测量第二个直角三角形的另一条直角边，许多学生都主动测量了第二个直角三角的另一条直角边，并与同桌、同组、邻桌、邻组的学生进行比较，他们发现所画的第二个直角三角形的另一条直角边的长度为12cm,这时，教室可就砸了锅了，学生议论纷纷，探究的气氛一下子就浓了起来，学生纷纷猜测另一条直角边与已知的斜边和直角的关系，每个学生都想知道这是为什么，于是我告诉学生：“直角三角形是一种特殊的三角形，它的许多特征还没有被你们发现，只要你们继续学习，它的特征会被你们一一发现的，而我们刚刚所看到的现象，只是直角三角形的特征之一”。在这里，学生不需要知道原因，可是通过这个过程，既让他们知道了一个事实：只要知道了直角三角形的斜边和一条直角边，就可以找出另一条直角边的长度，又调动了学生继续学习数学的兴趣。而直角三角形全等的“斜边、直角边”（HL）条件，也向三角形全等条件的“边边边”条件靠拢了，从而消除了概念的混淆。

我撰写该文的目的是把自己的所想、所感写下来。正所谓：“有改革就会有创新，有失败才会有成功”。希望同行们能及时给出批评，并且帮我指正错误