浅谈“平面几何不等关系”的证明

相对于“相等关系”而言,生活中更为广泛的存在着“不等关系”。然纵观初中几何教材,似乎涉及“不等关系”的问题并不太多,因此,学生在碰到不等关系的证明时,往往不知从何处下手。本文列举几个简单的例子加以分析,以期对学生有所启发。

一、以点代面,化繁多为单一

【例1】:证明:直径是圆中最长的弦。

【分析】:这是一类“长与短”的不等关系比较,在圆中直径总要与其他弦“比一比”,才能说明是否最长。那么,怎样比呢?与其他所有的弦都比吗?这显然是繁多而又不可能的。因此我们必须化“繁多”为“单一”,当然,这个单一必须具有代表性。我们不妨任作一条非直径的弦试试,这里的“任意”显然可以代表其它所有的弦,比出了这“任意”作的一条弦与直径的大小,则就能说明问题了。这样看似繁多的问题,就变得单一了。

【证明】:如图,任作一条非直径的弦CD,连接OC、OD。

在OCD中,

OC+OD>CD

而OC+OD=AB

AB>CD

由CD的任意性可知直径是圆中最长的弦。

二、构造等量,变盲目为清晰

【例2】:试证:在三角形中,大边所对的角也较大。

【分析】:这是一例“大与小”的不等关系比较,涉及既有边又有角,因此,要比较大小就必须找到它们之间的联系。那么,边与角怎么联系呢?我们已经知道“等边对等角”,所以,我们可以先构造出一个等量,即在已知三角形的大边上截取与小边相等的长度,构造一个等腰三角形,再进行比较,这样就把盲目的问题变得有清晰的思路了。

【证明】:如图,在大边AC上截取AD=AB,连接BD,

∠C+∠CBD=∠ADB

而∠ADB=∠ABD

且∠ABC>∠ABD

∠ABC>∠C

即大边AC所对的角大于小边AB所对的角。

三、转移视线,变不可能为可能

【例3】:如图,O中弦AB>CD弦,AB、CD交于E,M、N分别是AB、CD的中点,连接OM、ON、MN,求证:∠MNE>∠NME。

【分析】:这也是“大与小”不等关系的比较问题,如果直接在三角形MNE中考虑,就只能用“大边对大角”,但ME与NE哪条线段大是不可能知道的。初看解决问题好像不可能,但我们只要转移一下视线,即在三角形OMN中来考虑,这种不可能就变得可能了。

【证明】:M、N分别为弦AB、CD的中点,

OMAB、ONCD,

∠OME=∠ONE=90°

…①,

又弦AB>CD,

OM

∠ONM

由①、②得:

∠MNE>∠NME。

四、巧设桥梁,平稳过渡

【例4】:求证:经过相交两圆的一个交点的那些直线被两圆所截得的线段中,平行于连心线的那一条线段最长。

【分析】:此种类型实际上是上述三种类型的综合,我们可以先过交点任作一条直线,然后巧设连心线这道桥梁,找出等量与不等量,再把问题转移到与连心线的比较上来,便可解决问题。

【证明】:如图,过点M任作一条直线分别交O1,O2于C、D,再分别过O1、O2作AB、CD的垂线,垂足分别为E、F、P、Q,

由垂经定理可得:AB=2O1O2,

而CD

AB>CD。问题得证。

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