例说高中数学的转换思想

转换是最基本的数学方法，诸如将实际问题转换成数学问题，将这个数学分支问题转换成那个数学分支的问题等等。可以这么说：在全部的数学研究中，转换是无处不在的。灵活地、熟练地实现问题间的转换，是数学素养高的一个重要标志。下面例说几个常见的数学转换问题。

一、等价问题的转换

例1证明：不存在这样的正整数数列，它的项不都相等，而且从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均值（数2ab/（a+b）叫做数a、b的调和平均值）。

分析这道题很多学生看完第一遍之后可能还不太清楚是什么意思。再仔细看看，把每句话捉摸一下，应当注意到这是一个正整数数列，即数列中每项都是正整数。它的项不都相等，意味着这不是一个常数列。

解这种逐句重复、翻译，不是没有意义的。它常常可以加深对前提、结论的印象和理解。现在就可以将题目翻译成：

“如果一个正整数数列，从第二项开始，每一项都等于它前后两项的调和平均值，则该数列必是常数列。”即“设{an}是一正整数数列，如果对一切n≥2有an=2an-1an+11an-1+an+1，则所有的an只能是同一个正整数。”由上面的表达式可以得到11an=112（11an-1+11an+1），即原数列的倒数列是一个等差数列。于是又得到一个等价命题“设{an}是一个正整数数列，如果11an是等差数列，则所有的an必是同一常数。”这个命题就是显然的了。因为对一切正整数n，必有0

二、问题的简化

例2某工厂生产由六种不同颜色的纱织成的双色布。在这个工厂所生产的双色布中，每一种颜色至少和三种其它的颜色搭配。证明：可以挑出三种不同的双色布，它们含有所有六种颜色。

分析如果把六种不同颜色的纱用平面上六个不同的点代表，则可得到下述等价命题：“平面上有六个点。如果对每一点至少有三条线段与其它点相联，则必存在三条线段，它们的起点和终点各不相同。”

解这种叙述比较直观，容易着手。任取一条线段，记为A1A2。另取一点A3。由于从A 3出发至少有三条线段，故其中必存在一条线段，另一端异于A1，A2，记其为A4。在剩下的两点A5，A6之间，如果也有一条联线，则线段A1A2，A3A4，A5A6即为所求。如果其中没有联线。A5与A1或A2，A3或A4之间至少各有一条相联，为确定起见，不妨设为A5A1、A5A3，而A6与A1，A2，A3，A4间有三条联线，从而与A2或A4间至少有一条联线。若为A6A2，则A1A5，A6A2，A3A4即为所求；若为A6A4，则A1A2，A5A3，A6A4即为所求。

三、类比问题的转换

例3试证：对于每一个正整数m，在平面内存在具有下列性质的有限非空点集S：对于S中的任一点A，在S中正好有m个点与A的距离为1。

分析这里有两个问题必须首先解决。（1）S中应当有多少个点？（2）点集S如何构造？还是从简单的特殊情况出发。注意“正好”二字。m=1只要直线上相距为1的两个点。m=2，只要平面上单位正方形的4个顶点。m=3就不好办了。

解当m=3时，以单位立方体的中心为原点，边的方向为坐标轴方向，8个顶点坐标是（i12，j12，k12），i、j、k=±1。对于每个顶点来说，与其距离为1的三个定点，恰好是i，j，k中有一个变号的三点，即每次只在一个方向变化与其相邻。例如与P1（112，112，112）相邻的三个顶点是P2（-112，112，112），P3（112，-112，112）和P4（112，112，-112）。它们与P1点的距离之所以为1，乃是因为两点坐标量相减时，总要消去两项，只剩在一个方向的单位长度。于是，我们可以在以原点为心的单位圆周上取三点P1，P2，P3。8个点便可取向量i12（OP1+j12OP2+k12OP3）（i、j、k=±1）的终点。对其中每一点，恰有3点与其距离为1。但是为了确实得到8个不同点，上述组合中不能有两个向量相同。当有两个向量相同时，其差为0。而向量的系数只有1，0，-1三种，故只要选取P1，P2，P3使得αOP1+βOP2+γOP3≠0即可，其中α，β，γ为0，1，或-1，但是至少有两个不为0。为使得不相邻的两点距离不是1，上述各向量的长度也不能是1。一般，可以在平面上以原点为中心的单位圆周上取m个点P1，P2，…，Pm，他们满足：对任取0，1或-1但至少有两个不为0的a1，a2，…，am，|a1OP1+a2OP2+…+amOPm|≠0和1。因为等于0和1的情况只有有限多种，故这m个点可用归纳的方法逐个增加而取得。在这m个点取定之后，所需要的2m个点可取为向量112（k1OP1+k2OP2+…+kmOPm）的终点，其中ki=±1，i=1，2，3，…，m。

四、递推问题的转换

例4设a1，a2，a3，…，a1979是1，2，3，…，1979这些自然数的任意一个排列。为了配对，令a1980=0。从计算bi=|a2i-1-a2i|

得到数列b1，b2，b3，…，b990，再从计算ci=|b2i-1-b2i|得到数列c1，c2，c3，…，c495；为了配对，令c495=0，从计算di=|c2i-1-c2i|得到数列d1，d2，d3，…，d248，…如此一直算下去，最后得到一个数x是偶数。

分析数x本身就是递推给出的，又只要证明它是偶数，故只须用递推的办法作出奇偶分析。关键是第一步。注意bi的奇偶性与a2i-1+a2i相同，故b1+b2+b3…+b990的奇偶性与a1+a2+a3+…+a1979+a1980=1+2+3+…+1979相同，即为偶数。照此类推转换，便知道x也是偶数。

五、降维问题转换

例5试建立半径为1的闭圆和开圆的点之间的一一对应。

分析闭圆较之开圆要多一个圆周，其上点有无穷多个，欲建立一一对应略为困难一些。先把它降一维，只看在每条半径上如何建立对应关系。这实质上是在区间（0，1]和[0，1）之间建立一一对应关系。前者只多一个点，就好办多了。注意在任何两个有限点集之间，如果其中一个比另一个多一个点，那是不可能建立一一对应的。而对无穷点集却很容易办到。

解在（0，1）中取无穷点列1/2，1/3，1/4，…，1/n，…让它们分别对应于（0，1]区间中的点列：1，1/2，1/3，…，1/（n-1），…而其余的点就自身对应，这样使得到（0，1）与（0，1]之间的一一对应。在每条半径上作上述一一对应，再圆心对应于圆心，便得到半径为1的闭圆和开圆之间的一一对应。

客观事物千变万化，问题各式各样。数学作为一门抽象学科，并不是一种形式只代表一种事物，一个问题它具有广泛的适用性。自然界中许多截然不同的问题可用相同的数学形式表达。而同一个问题也可以用不同的数学形式表达。因此善于转换问题，把生疏的用熟悉的方式表达；复杂的用简单的方式表达；困难的用容易的方式表达，是解题的基本功之一。