高中物理中“收尾速度”模型的应用

在高中物理学习中模型法是一种重要的思维方法，它可以帮助学生更好的理解物理过程的形成和变化特点，而习题模型又是训练学生思维方法的很重要的手段.高中力学中有一个很重要的模型，笔者称之为收尾速度模型，本文将对这个模型进行深入的探讨和剖析.

1什么是收尾速度模型

物理学中存在一些力，它的大小和速度大小有关时，当物体受到这样的力作用时，就可能经历变速直线运动，最终达到匀速运动的状态，即收尾速度.当物体达到收尾速度后，若影响该力的条件变化，则物体将达到新的收尾速度.笔者将这样物理模型称之为收尾速度模型.

2收尾速度问题的类型及解题思路

此类力在高中物理中常见的有：

①机车的牵引力：F=P1v；

②洛伦兹力：f=qvB；

③导体棒切割磁感线时的安培力的表达式，如：电磁感应中的“导体棒”模型中：F安=B2l2v1R总；

④雨滴下落时阻力的表达式：f阻=kSv2.

此类题的物理过程是物体在经历一段加速度减小的加速（或减速）运动后，最终当a=0时速度达到最大（或最小），此后做匀速直线运动，即达到收尾速度.教师如果在教学过程中能为学生归纳这类问题，让学生了解其思路与方法，就能使学生少犯许多错误，提高解题的正确率.

2.1机车启动的收尾问题

对机动车等交通工具，因机车的牵引力F=P1v，受制于机车功率和机车速度，故在启动的时候，通常有两种启动方式，即以恒定功率启动和以恒定加速度启动.启动情况如表1所示.

由表1可以看到，无论机车采用何种启动方式启动，都要经历一段加速度减小的加速运动后，最终达到最大速度，此后做匀速直线运动，即达到收尾速度.如果机车功率突然改变，机车在经历加速度减小的减速运动后，最终达到最小速度，此后做匀速直线运动，达到新的收尾速度.

v-t图11OA

段AB

段1过程

分析1vF=P（不变）1v

a=F-F阻1m1a=F-F阻1m不变F不变

P=Fv直到P额=Fv1运动

性质1加速度减小的加速直线运动1匀加速直线运动，

维持时间t0=v11a过程

分析1F=F阻a=0F阻=P1vm1vF=P额1va=F-F阻1m运动

性质1以vm匀速直线运动1加速度减小的加速运动BC段1无1F=F阻a=0

以vm=P额1F阻匀速运动例1某汽车在平直公路上以功率P、速度v0匀速行驶时，牵引力为F0.在t1时刻，司机减小油门，使汽车的功率减为P/2，此后保持该功率继续行驶，t2时刻，汽车又恢复到匀速运动状态.下面是有关汽车牵引力F、速度v在此过程中随时间t变化的图象，其中正确的是

一端固定于O点，另一端与该小球相连.现将小球从A点由静止释放，沿竖直杆运动到B点，已知OA长度小于OB长度，弹簧处于OA、OB两位置时弹力大小相等.在小球由A到B的过程中：分析弹簧弹力做功？

引导学生关注弹簧可知，弹簧显然经历了继续挤压，展开至原长，又被拉伸等复杂过程.所以，此种情景的分析在于关键点的选取.物体越过某些关键点，弹簧弹力性质就会变化.如图4，依据运动过程和弹簧的特点，我们很容易在小球的轨迹上再找到如下三个点：C、D、E.其中C为OC水平线与杆的交点，D为关于C与A对称的点，E为弹簧原长时小球与杆的交点.则可知，小球从开始起走AC段时弹簧做负功（弹力斜向左上，位移向下）；CE段做正功（弹力斜向左下，位移向下.其实引入D的目的就是为了找到E的大概位置）；EB段又做负功（弹力斜向右上，位移向下），而弹簧在AC、EB段做的总负功与在CE段做的总正功相同（形变量相同）.其中，A点由于速度为零，C点由于力和速度垂直，E点由于力为零，故这三点弹簧的瞬时功率都为零.解析汽车匀速行驶，则F0=Ff，又P=Fv，所以P变为P12时，由于v不变，F减小为F012，F合与Ff方向相同，汽车减速.由于v减小，F增大，F合减小，减速时加速度减小，选A、C.

2.2洛伦兹力作用下的收尾问题

带电体在洛伦兹力及其他力的作用下，因洛伦兹力：f=qvB，即洛伦兹力因受制于v，故带电体速度变化时，洛伦兹力会跟着变化，导致带电体做加速度减小的加速运动，最后达到匀速，即收尾速度.

例2如图2所示，质量为m的带正电小球，电荷量为q，小球中间有一孔套在足够长的绝缘细杆上，杆与水平方向成θ角，与球的动摩擦因数为μ，此装置放在沿水平方向、磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，若从高处将小球无初速度释放，小球在下滑过程中加速度的最大值为，运动速度的最大值为.

解析分析带电小球受力如图，在释放处a，由于v0=0，无洛伦兹力，随着小球加速，产生垂直杆向上且逐渐增大的洛伦兹力F，在b处，F=mgcosθ时，Ff=0，此时加速度最大，am=gsinθ，随着小球继续加速，F继续增大，小球将受到垂直杆向下的弹力FN′，从而恢复了摩擦力作用，且逐渐增大，加速度逐渐减小，当Ff′与mgsinθ平衡时，小球加速结束，将做匀速直线运动，速度将达到最大值vm.

在图中c位置：FN′+mgcosθ=Bqvm（1）

mgsinθ=Ff′（2）

Ff′=μFN′（3）

由（1）、（2）、（3）式解得vm=mg1Bq（sinθ1μ+cosθ）.【思维提升训练】如图4所示，一个质量为m、带电量为+q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中.现给圆环一个水平向右的初速度v0，在以后的运动中下列说法正确的是 （ ）A.圆环可能做匀减速运动 B.圆环可能做匀速直线运动C.圆环克服摩擦力所做的功一定为12mv 20D.圆环克服摩擦力所做的功可能为12mv 20-m3g22q2B2【解析】圆环的运动分为三种情况：若开始时 ，即 ， 方向向下，圆环受到摩擦力，受力如图（1）.圆环做减速直线运动，洛伦兹力不断减小，当 时，即 时，达到收尾速度.此时 ，圆环环不受摩擦力作用，故圆环克服摩擦力做功为Wf=12mv 20-12mv2=12mv 20-12mm2g2q2B2=12mv 20-m3g22q2B2. 若开始时 ，即 ， 方向向上，圆环也受到摩擦力，受力如图（2）.圆环做加速度减小的减速直线运动，直至静止.圆环克服摩擦力做功为12mv 20若开始时 ，即 ， =0，圆环不受摩擦力作用，小球将做匀速直线运动，圆环克服摩擦力做功为0 综上所述：A、C错误，B、D正确；答案为：B、D【点评】笔者在教学中用此题测试学生，学生得满分的几率很低.究其原因是学生很难发现收尾速度这一隐藏条件.若教师刻意培养学生对收尾速度问题的认识，学生能注意到带电体受到的洛伦兹力是个与速度有关的力，就可能存在收尾速度这一隐藏条件，就可以避免漏选，提高解题的得分率.

2.3电磁感应中“导体棒”模型的收尾速度问题

在电磁感应中的动力学问题中有两类常见的收尾速度模型.

表2类型1“电-动-电”型1“动-电-动”型示意图1棒ab长l，质量m，电阻R；

导轨光滑水平，电阻不计1棒ab长l，质量m，电阻R；

导轨光滑，电阻不计分析1S闭合，棒ab受安培力F=BlE1R，此时a=BlE1mR，棒ab速度v感应电动势Blv电流I安培力F=BIl加速度a，当安培力F=0时，a=0，v最大，最后匀速vm=E1Bl1棒ab释放后下滑，此时a=gsinα，棒ab速度v感应电动势E=Blv电流I=E1R安培力F=BIl加速度a，当安培力F=mgsinα时，a=0，v最大，最后匀速运动形式1变加速运动1变加速运动最终状态1匀速运动vm=E1Bl1匀速运动vm=mgRsinα1B2l2例3如图3甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L.M、P两点间接有阻值为R的电阻.一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直.整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下.导轨和金属杆的电阻可忽略.让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦.（1）由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图.（2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小.（3）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值.

解析（1）如图3所示，ab杆受重力mg，竖直向下；支持力N，垂直斜面向上；安培力F，平行斜面向上.

（2）当ab杆速度为v时，感应电动势E=BLv，

此时电路中电流I=E1R=BLv1R，

ab杆受到安培力F=BIL=B2L2v1R，

根据牛顿运动定律，有

ma=mgsinθ-F=mgsinθ-B2L2v1R，

a=gsinθ-B2L2v1mR.

（3）当B2L2v1R=mgsinθ时，ab杆达到最大速度

vm=mgRsinθ1B2L2.【思维提升训练】如图所示，倾斜放置的光滑平行导轨，长度足够长，宽度L=0.4m，自身电阻不计，上端接有R=0.2Ω的定值电阻，在导轨间MN虚线以下的区域存在方向垂直导轨平面向上、磁感应强度B=0.5T的有界匀强磁场，MN虚线到磁场的下边界的距离为28m.在MN虚线上方垂直导轨放有一根电阻r=0.1Ω的金属棒.现将金属棒无初速度释放，其运动时的v-t图象如图所示.重力加速度取g=10m/s2.求：（1）斜面的倾角θ和金属棒的质量m；（小数点后保留一位小数）（2）在磁场中运动的整个过程中定值电阻R上产生的热量Q是多少？ 解析：（1）在0-2s内，对金属棒：根据牛顿第二定律得： 故： 由图像知： 解得： 在 之后金属棒做匀速运动，且 ，金属棒受力平衡，沿轨道平面有感应电动势 感应电流 解得： （2）末速度 ，金属棒进磁场的位移为 由能量关系有； 得： 故电阻R上的热量为

2.4雨滴下落的收尾问题

例题假设雨点下落过程中受到空气的阻力与雨点（可看成球形）的横截面积S成正比，与下落速度v的平方成正比，即f阻=kSv2，其中k为比例常数.已知球的体积公式：V=413πr3 （r为雨滴的半径），雨点的密度为ρ，重力加速度为g.雨滴接近地面时近似看做匀速直线运动，求：（1）每个雨滴最终的运动速度vm（用ρ、g、r、k表示）；（2）雨点的速度达到vm12时，雨滴的加速度a为多大？

解析我们首先分析雨滴的受力情况，雨滴开始从静止开始下落时，受到重力和空气的阻力，由牛顿第二定律得

mg-f=ma，

即mg-kSv2=ma，

故a=g-kSv21m；

由于刚开始时a与v同向，故速度v变大，导致a减小.随着a的减小，a最终会减到零，此时雨滴速度达到最大vm=mg1kS，此后雨滴将做匀速直线运动.当雨滴速度为vm12时，雨滴还未到达匀速，此时加速度为a=3g14.

【思维提升训练】直升机悬停在空中向地面投放装有救灾物资的箱子，如图所示，设投放初速度为零，箱子所受的空气阻力与箱子下落速度的平方成正比，且运动过程中箱子始终保持图示姿态.在箱子下落过程中，下列说法正确的是A.箱内物体对箱子底部始终没有压力B.箱子刚从飞机上投下时，箱内物体受到的支持力最大C.箱子接近地面时，箱内物体受到的支持力比刚投下时大D.若下落距离足够长，箱内物体有可能不受底部支持力而“飘起来”【解析】箱子刚释放瞬间，箱子只受重力，加速度为 ，处于完全失重状态，物资对箱子底部压力为零.随着速度增加箱子所受到的阻力 也增大，箱子做加速逐渐减小的加速运动，当 时箱子达到匀速，即收尾速度.此过程中物资的加速度也发生同样的变化，因此对箱子底部的压力N变大，当匀速时其对箱子的压力最大，即 . 答案为：C总之，收尾速度模型是一类重要的力学习题模型.只要我们引导学生搞清这类模型的特点，注意归纳，把握这类问题的本质，就能正确分析，就能让学生体会到解题的快乐，享受物理过程的优美，真正让学生喜欢物理，学好物理.