以怎样的可能去发生“数学教育”?

小学阶段的数学学习，作为人生初始的一段经历，应当充满收获知识的成功体验、合作探索的经验累积以及主体精神的个性张扬。我们该以怎样的可能去发生“数学教育”呢？下面，结合“乘法分配律”的教学谈一些想法，不足之处，敬请指正。

扒开“知识”这层土

数学知识往往具有两重性，既表现为一种过程的操作，又表现为一种结构。因此，数学学习往往由过程开始，然后转化为对象的认知过程。“乘法分配律”是公认的教学难点之一，困扰着广大教师和学生，少数学生甚至于毕业前夕仍不能准确地加以理解和运用。究其原因，笔者认为数学课堂中普遍存在初次教授时过程刻画不足、对象转化不够的缺陷，并且日后教学中对该知识运用也缺少发展性的补充理解和训练。

1.把学生经验与学习材料进行比较，建立联系。

课堂教学要符合学生的心理规律，将学生的已有经验和学习材料进行比较研究，找到二者之间的关联点，为教学的有效设计与实施把好“脉”、导好“航”。（见下表）

通过比较，我们可以发现，学生对乘法分配律的结构把握，起源于生活问题中隐含的事理认识和丰富抽取。同时，学生对它的反向理解和识别将会是一种新的学习挑战。

2.把学习对象还原为教学直观或现实问题。

由于数学知识的抽象特点和学生的思维特征之间存有明显差异，所以我们要把抽象的数学还原为学生可感受的教学直观或可参与的现实活动，实现自主建构。

如苏教版国标本教材四年级下册第56页以主题图的形式呈现买卖信息及问题“短袖衫32元，裤子45元，夹克衫65元，买5件夹克衫和5条裤子，一共要付多少元”，然后在两种方法的解决基础上抽取出等式“（65+45）×5=65×5+45×5”。而事实上，问题首先就出于此处，即“还原”不够。从儿童的生活世界来看，乘法分配律之所以比乘法交换（结合）律的“病发率”高，不只在于他们有学习加法交换（结合）律的类似经验，主要还在于乘法分配律的生活原型相对较少的缘故，并且学生对乘法分配律的结构把握需要投入的学习注意力也明显高于乘法交换（结合）律。这样，就需要在上述生活问题（知识原型）的前面再补充两个问题，让学生自主建构的生活基础更加厚实，即“某地是长12米、宽4米的长方形，求它的周长”和“桌子每张56元，椅子每把24元，买10套桌椅需多少元”。

3.以儿童的立场对知识的组织方式进行合理选择。

小学生还不具备成人“很简单就得到”的复杂思维，对世界的认识和探索仍以不完全归纳与举例论证的方式为主。因此，教师对知识的组织宜采用放手让学生探索，关键的地方“扶”一把的方式。如抽取出三个等式“（65+45）×5=65×5+45×5、 （12+4）×2=12×2+4×2、（56+24）×10=56×10+24×10”并观察其特点后，教师可提问：“这是规律，还是巧合呢？”然后组织学生每人举例加以验证和交流，找寻共同特征得出乘法分配律并加以表达，接着进行反向理解。但是，不少教师初授乘法分配律时，易忽略对它结构的反向探究、理解和识别，只是让学生对先前的一组等式从右往左观察便宣告结束。这样教学，学生得到的认识虽然是完整的，但程度上远远不够深刻。那么，怎样“教”得到位，“扶”学生一把呢？其实，先前的等式和例子可以用两块小黑板呈现，“=”写在小黑板之间的大黑板上，然后只需左右调换小黑板即可，既简单、方便又实用。这样，学生对“分”和“配”的体验都建立在直观顺向的观察基础之上，得到的认识必然深刻和完整。

4.引领学生多角度理解知识，分层次地推进教学。

这主要体现在得出乘法分配律后，组织学生口算14×2、笔算15×23和计算长方形的周长，回顾旧知，体会乘法分配律在原有知识中的运用。同时，在练习环节借助填空、判断、连线、计算说理（如右图）等题目的练习，强化学生对乘法分配律的解释能力和应用意识。

数学知识的教育，就是要让学生充分地感受到知识的来龙去脉，实实在在地体会到已有经验与学习材料之间的关联以及富有挑战的新认识。

掬起“智慧”这捧水

知识在本质上是一种经验或思考的结果，而智慧表现在经验和思考的过程中，具体表现于对问题的处理和对实质的思考以及技巧的整体把握等诸多方面，它并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用和经验。

1.运用知识。

首次探讨乘法分配律对减法的运用（第58页第3题“先计算每组的两道算式，再比较它们的结果，并填空”）时，教师不要直接告知学生“这是乘法分配律对减法的运用，减号相当于加号”，如此不够准确的“聪明”做法只会产生更多的“笨”学生，因为从一开始就把学习定格在了结论的记忆上，而不是对知识“（a+b）×c=a×c+b×c”的运用。此处运用的是已有的探究经验和熟悉的问题结构，表现为学生对共性的实质把握和技巧的独立运用，极有利于学生主体探究精神的培养。

2.积累经验。

积累必要的经验是提高问题处理能力之所需。通过对问题多层次的变式构造，使学生对问题解决及问题本身的结构有一个清晰的认识。这是学生积累活动经验，提高问题解决能力的一条有效途径。常用的方法如下：（1）一个问题多种变化，其中既包括解题过程中的各种铺垫（如拆分、变形等），也包括对原问题的各种引申（如改变问题等）；（2）一个问题多种解决方法，即将同一个问题的不同解决过程作为变式，去联结各种不同的解决方法；（3）同一方法解决多种问题，即将某种特定的方法用于解决一类相似的问题。

3.生成新知。

生成恰当的新知有助于加深对问题本身的理解，并能够抓住问题的本质，启发新的思考。学生在完成基本练习后，已具备能力和条件参与初步拓展，解决实际问题（如“每本笔记本5元，甲买2本，乙买3本，丙买4本，三人共花多少元”），将乘法分配律拓展到三个数的和与一个数相乘。笔者调查发现，参与拓展生成上述新知的班级的学生，面对25×（40+4+2）基本能正确地拆开进行简便计算，而没有如此学习经历的同年级学生只敢转化为25×46或25×（40+6）来计算。

4.催生思想。

学习数学不仅要学到许多重要的数学概念、方法和结论，更要领会数学的精神实质和思想方法。由乘法分配律拓展到三个数的和与一个数相乘的知识基础，催生“更多个数的和与一个数相乘”这一思想也就成为可能。实践证明，上课结束后就有部分学生谈到这样的想法，并且认为无非就是把实际问题的人数继续增多。这真是验证了一句话：“思想有多远，路就有多远。”

我们不止于收获知识这样的结果，更要在丰富的经历和过程中收获智慧。智慧被“掬起”的同时，也是知识被“扒开”的延续，从而使学生创造意识的保持和能力的生成成为可能，数学思维也真正得到落实。

迎来“生命”这股流

基于数学的学科因子，可否以涓涓细流来润泽生命？又何以润泽？这特别需要我们立足教和学的层面，实现双主体的投入，成功唤醒每一位学生的自我成长意识和主体发展意识。

1.充满期待——“我学习我主张”。

数学课堂上，可以尝试着让学生自己定标准和给结论。比如，在小组交流规律发现后，让学生思考“有没有更简单的式子表达这种规律”，学生生发出如（a+b）×c=a×c+a×c、（红+蓝）×黄=红×黄+蓝×黄、（+）×=×+×等多种表示方法，尽管其中有的不一定正确，但它们至少表示出了乘法分配律的结构外形。长此以往，学生就能充满自信，相信自己会变强。

2.不言放弃——“我学习我收获”。

对乘法分配律的教学不能局限于初学后就是练习加订正，要有长期理解其内涵进行后续学习的意识，增强体验，丰富认识。如可让学生对照右图涂色面积的计算理解乘法分配律，实现操作运算和符号运算之间的表象过渡，原先以“先记忆再理解”或“先理解再记忆”接纳乘法分配律的学生，此时会有常学常新的收获。学生的收获也将不止于知识背后的意义支撑，会越来越热爱学习，不断增强自我学习的能力。

3.敞开心扉——“我学习我欢愉”。

我们在抱怨学生越来越不主动地去学习的同时，也应该注意到，很多学生学习时在情感上没有了愉悦感，他们只是在应付了事。如果学了再多的知识,但是失去了求知的快乐和热情,我们的教学就本末倒置了。通过“乘法分配律”的学习和探索，我们可以明显地看到，学生感到学习数学其实并不难，对一些数学知识的运用学生很感兴趣，且在解决现实生活中的问题时，他们的热情比较高涨。

4.点化生命——“我学习我成长”。

笔者自小学毕业已有多年，当年所学的数学知识早已形成了一种无形的能力，而跟学数学有关的一些经历和事件却成了生命的烙印。看来，围绕学数学的活动范围是很广泛的，其具体过程仍然首先是人与人之间的交流。涉及数学学习的教育事件使学生能试着发现他自己，发现自己喜欢什么，需要什么；善于做什么，不善于做什么。也就是说，数学学了具有获得知识和技能的社会价值，更赋有对促进人的自我实现的生命价值。

“扒开知识”“掬起智慧”“迎来生命”，这三件事情是相互贯通的，既逐层递进，又相互制约。“知识”处在教育的边缘和表层，它的内在根据可寻索到“智慧”，而“智慧”的运作又必定能追溯到生命的本真。

（责编　杜　华）