线性代数中的几个等价关系

【摘要】本文讨论了线性代数之中的四个等价关系：矩阵等价，向量组等价，矩阵相似，矩阵合同；以及和四个等价关系相关的基本性质。

【关键词】等价关系 矩阵 向量组 相似矩阵 合同矩阵

【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）08-0144-01

一、等价关系的定义

在一个给定的集合S上，我们可以定义元素之间的某种关系。如果该关系满足三个性质：（1）自反性（2）对称性（3）传递性，我们称该关系为等价关系（equivalence relation[1]），记为～。自反性就是S中的任意元素和自身有该种关系，即A～A；对称性是若对于S中两个元素A、B，如果A～B，则有B～A；传递性是指对于S中三个元素A、B、C，如果A～B，则有B～C，则有A～C。

二、等价关系与分类

若集合S上具有等价关系～，则按照该等价关系对S中的元素进行分类，就是把具有等价关系的元素归为一类，称为等价类，使得S成为成为各等价类的无交并。这样当S有一个等价关系，S也就有了一个分类标准。反之，对于集合S，若给一个分类标准，则可以对S进行分类。籍于此分类，我们对S中的元素可以定义一个关系～如下：A、BS，A～B当且仅当A和B属于同一类。易于验证该关系是一个等价关系。也就是说S上的一个分类标准就会给出一个S上的等价关系。一般地我们有结论：集合S上的等价关系和分类方法是一一对应的。

三、线性代数中的四个等价关系

3.1 矩阵的等价关系

不妨设S是实数域上的矩阵组成的集合，对于矩阵A、B，如果A、B同型，即有相同的行数和列数，且A经过有限次初等变换成为B，则称A与B等价[2]。

矩阵等价，这个“等”字之后意味着什么相等呢？该“等”实际是指矩阵的行数和列数相等，同时矩阵的秩相等。我们有如下关于矩阵等价的定理。

定理1： 矩阵A和B等价的充要条件是它们同型且秩相等。

任何一个矩阵通过有限次初等变换可以化成标准型矩阵（参考文献1），我们称之该矩阵的标准型。对此有如下结论：

推论1：矩阵A和B等价的充要条件是它们有相同的标准型。

推论2： n阶方阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价。

根据初等变换和初等矩阵之间的关系，有如下结论。

定理2. 矩阵A和B等价的充要条件是CA=BD， 其中C和D是可逆矩阵。

在矩阵等价关系下，S中的矩阵的分类分为两步走。首先同型的作为一大类；之后，对于k×l型矩阵这一大类，在秩相等要求下，可以分为m+1类，其中m=min（k，l）。

3.2 向量组的等价

设两个向量组A：α1，α2，…，αs ； B：β1，β2，…，βt ，若向量组B中的向量都能由A中的向量线性表示；反之亦然。那么称向量组A和B等价[2]，也记作A～B。可以证明在该定义下这是一个等价关系。我们不妨把目光集中在实数域R上的向量和向量空间上。

向量组A和B等价，这个“等”字背后意味着什么相等呢？实际上，“等”字是指A和B生成的向量空间相等，它们分别记作span（A）、span（B）。则有如下结论。

定理3： 向量组A～B的充要条件是span（A）=span（B）。

一个向量组A有一个不变量，就是向量组的秩r（A），它是一个决定span（A）维度大小的量，也就是等于span（A）维度。鉴于此有如下结论。

定理4： 向量组A～B的充要条件是A能被向量组B线性表示，且r（A）=r（B）。

注： 在定理4中，“A能被向量组B线性表示”这个条件不可删减，即单由r（A）=r（B）推导不出A～B。举一个反例：A：α1=（1， 0），α2=（2， 0）；B：β1=（0， 1），β2=（0， 2）；易见r（A）=r（B）=1，然而A不能被向量组B线性表示，故A与B不等价。

3.3 矩阵的相似

设A和B都是n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得A=P-1BP，那么称矩阵A和B相似[3]，不妨也记作A～B。由此定义可以证明矩阵的相似关系是一种等价关系。

如果矩阵A与对角矩阵相似，我们称之为A可以对角化。并不是所有的矩阵都可以对角化。关于矩阵可以对角化的充要条件，各线性代数教材中有详述。下面列举几个有关矩阵相似的重要的结论和事实。

定理5：如果矩阵A～B，那么它们有相同的特征值，因而有相同的行列式和痕。

定理6： f（x）为一个多项式，AT表示矩阵A的转置矩阵。如果矩阵A～B，那么f（A）～f（B），AT～BT。若A和B可逆，则A-1～B-1。

3.4 矩阵的合同

设A和B都是n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得A=PTBP，那么称矩阵A和B合同[3]，不妨也记作A～B。同样，由定义可以证明矩阵的合同关系是一种等价关系。我们主要讨论实对称矩阵的合同和有关实二次型的问题。

每一个实对称矩阵都对应着一个实二次型，后者可以通过可逆线性变换化成标准型，继而化成规范型，称为该二次型的规范型，其中规范型中正项个数称为正惯性指数，负项个数称为负惯性指数[4]。合同的矩阵所对应的二次型有着相同的规范型。故有如下结论。

定理6： 实对称矩阵A和B合同充要条件是实二次型XTAX和 XTBX有相同的规范型。

定理7： 实对称矩阵A和B合同充要条件是实二次型XTAX和 XTBX有相同的正惯性指数和负惯性指数。

对于n阶实对称矩阵，在合同的等价关系下，其中最为特殊的一类是正定矩阵[4]。这里列举几个关于正定矩阵的结论。

定理8： 正定矩阵只与正定矩阵合同。

定理9： 若A是正定矩阵，则AT，A-1，Am（m为非负整数）均是正定矩阵。

定理10： 矩阵A是正定矩阵的充分必要条件是A与单位矩阵E合同。

还有关于正定矩阵重要结论，这里不再详述。

参考文献：

[1]J. J. Rotman，Advanced Modern Algebra（抽象代数，影印版），高等教育出版社，2004年。

[2]吴赣昌，线性代数（经管类，第四版），中国人民大学出版社，2011年。

[3]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 编，王萼芳，石生明 修订，高等代数，第三版，高等教育出版社，2003年。

[4]吴传生，经济数学――线性代数，第二版，高等教育出版社，2009年。