动态(几何)综合题

探究动态（几何）问题，关键是动静互化，其中“静”是“动”的瞬间，是运动过程中的一种特殊状态，抓住瞬间的“静”就可以转化出熟悉的几何图形.同学们在学习研究“形”动的过程中更要有积极的“心”动.下面举例说明几类动态综合题的解法.

1. 动点与几何图形

例1 （2010广西柳州）如图1，AB是O的直径，弦BC=2 cm， F是弦BC的中点，∠ABC=60°.若点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着ABA的方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t

图1

解析 动点E在直径AB上往返一次，所以分阶段考虑:

从A到B的运动中，E与O重合，根据垂径定理可知∠EFB=90°，此时AO=2 cm，t=1（s）；

点E过O后到达E′处（作F E′ AB，垂足为E′），可得∠FE′B=90°，此时A E′=35 cm， t=175（s）；

出现在返程中，点E再次运动到E′处，此时点E运动的路程为AB+BE′=4.5 cm，得t=2.25（s）；

点E又回到O处，此时点E运动的路程为6 cm，得t=3（s）.但不合题意，舍去.

所以当t值为1 s,1.75 s,2.25 s时，BEF是直角三角形.

点评 本题主要用到了垂径定理和直径所对圆周角是直角两个结论，动点E的路径要分段讨论.由于∠ABC=60°，所以BEF成为直角三角形只需考虑∠BFE=90°和∠BEF=90°.

图2

例2 （2011云南昆明）如图2，在RtABC中，∠C=90°，AB=10 cm，AC∶BC=4∶3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1 cm/s，同时点Q从点B出发沿BCA方向向点A运动，速度为2 cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动.

（1） 求AC、BC的长；

（2） 设点P的运动时间为x（秒），PBQ的面积为y（cm2），当PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3） 当点Q在CA上运动，使PQAB时，以点B、P、Q为定点的三角形与ABC是否相似，请说明理由；

（4） 当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使BCM的周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由.

解析 （1） 略，（2） 因动点P总在上AB运动，PB=10-x，（0＜x≤10）.当动点Q在BC上运动时,BQ=2x（0＜x≤3），见图①；当动点Q运动到CA上时，AQ=14-2x（3＜x＜7），见图②.

利用相似三角形求出图①中QH=85x，图②中QH′=35（14-2x）.

y与x的函数关系式为y=-45x2+8x(0 35x2-515x+5(3 （3） 要判断以点B、P、Q为顶点的三角形与ABC是否相似，由于∠QPB=∠ACB=90°，∠QBP总小于∠ABC，因此只需讨论一种情况：BQP∽ABC（见图③）.由APQ∽ABC，求得PQ=34t,通过BQP∽ABC，得34t10-t=68，t=53

（4） 存在.当x=5时，PQ变成ABC的中位线， PQ∥BC，此时，PQAC， PQ是AC的垂直平分线.设M为PQ上任一点（图④），则BCM的周长等于BC+CM+MB=BC+AM+MB≥BC+AP+PB=BC+CP+PB.

点评 当两个动点一起出发时，首先要关注各点运动的路线，善于借用“静”的位置，其次要学会用含x的代数式表示各相关线段.希望同学们熟悉本题中的基本图形（如图⑤、图⑥），基本图形的确认可以缩短思考的过程.

2. 动点与函数图象

例3 （2011安徽）如图3所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是

（ ）

解析 从选项中可以读出图象可能是直线或抛物线，所以要对y关于x的函数图象类型作判断：（1） 当点P在BD左边，根据相似三角形对应高的比等于相似比得MN=x，可求出y=12x2（0≤x≤1）；（2） 当点P在BD右边，同样方法求出MN=2-x，y=-12x2+x（1 点评 本题考查了相似三角形的性质和利用三角形面积公式建立函数模型，在解题过程中，同学们要注意两点：（1） 分类要清晰，要考虑MN是在BD的左边还是在右边；（2） AP的长已经是AMN为高，解决问题的关键就转到了能否求出AMN的底.用AMN∽ABD，CMN∽CBD（如图虚线部分），就可分别求得MN的长（用含x的式子表示）.

例4 （2011浙江嘉兴）已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒.

（1） 当k=-1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图①）.

① 直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；

② 若以Q、C、A为顶点的三角形与AOB相似，求t的值.

（2） 当k=-34时，设以C为顶点的抛物线y=(x+m)2+n与直线AB的另一交点为D（如图②），① 求CD的长；② 设COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

图4

解析 第（1）题中，当k=-1时，得∠BAO＝∠ABO＝45°.第②小题中以Q、C、A为顶点的三角形成为一个直角三角形有两种情形：（1） 当∠AQC=90°时，点Q与点P重合，OQ=OP，即3-t=t， t=1.5.（2） 当∠ACQ=90°时，点Q在点P左边. ACQ是等腰直角三角形， AQ=2CP，即t＝2（-t+3）， t=2. 满足条件的t的值是1.5秒或2秒.