提高数学解题速度的几种途径

数学解题速度是学生数学能力的一个重要方面，它的快慢直接反映了学生思维的敏捷性和灵活性。解题速度慢是学生当中极为普通和突出的问题，它不仅影响了学生的数学成绩，更会挫伤学生学习数学的积极性。那么影响学生解题速度的因素有哪些呢？笔者认为主要因素有以下两个：一是基础知识浅缺、基本技能不熟练；二是解题策略、方法选择不当。其中第二个因素影响更大。下面，就本人的教学实践谈谈如何提高数学解题速度的几种途径。

一、利用定义简捷解题

数学的定理、公式、性质、法则都是建立在相应的定义(或公理)的基础上，因此，利用定义解题是一种本质的方法。解题时若能追根溯源，回归到定义上，有时可以起到事半功倍的效果，避免繁杂的代数运算。

例1 求（1+x+）的展开式里的常数项。

分析：这道题惯用的方法是把三项式转化成二项式来做，这样处理比较繁琐，极易在运算上造成失误，但是利用定义效果就不一样。

解：原式=（1+x+）（1+x+）……（1+x+）。

为了得到常数项，可分以下几类讨论得到：

①10个括号中都取1，得常数C1010。②10个括号中取1个1，6个x，3个，得常数C101C96C33。③10个括号中取4个1，4个x，2个，得常数C104C64C22。④10个括号中取7个1，2个x，1个，得常数C107C32C11。

常数项为C1010+C101C96C33+C104C64C22 +C107C32C11 =4351。

二、改写命题简捷解题

通过改写命题，使原题中的本质内容尽可能的直观、明了的表现出来，这往往有利于达到简捷解题的目的。

例2设不等式2x-1＞m（x2-1）对满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围。

分析：此题可以改写成：设不等式2m－1＞x（m2-1）对满足|x|≤2的一切x的值都成立，求m的取值范围。

解：原不等式可化为m（x2-1）+（1-2x）＜0。

设函数f（m）=（x2－1）m+（1－2x），则此函数为一次或常数函数，要使f（m）＜0，在－2≤m≤2上恒成立，只要，解得。

三、利用分析法简捷解题

当解决数学问题的思维受阻时，可不妨从结论出发，利用分析法的思路去寻求解决方法，也许可以取到“柳暗花明又一村”的效果。

例3已知F(θ) =sin2θ+sin(θ+α)2+ sin2（θ+β），是否存在着满足0≤α≤β≤π的α，β使得F(θ)的值不随θ变化的常数。

分析：本题为了探求α、β的可能情况，可以取θ的一些特殊值，构造关于α、β的方程，然后再对解的情况进行分析。

解：若满足条件的α、β存在，分别令θ=0，－α，－β， 。则由F（0） = F（－α） =F（－β） =F（）得到：sin2α+sin2β= sin2α+sin2（β－α）= sin2β+sin2（α－β）=1+cos2α+cos2β

易得sin2α+sin2β= sin2(β－α) =

由0≤α≤β≤π，知0≤β－α≤π，

则sinα=sinβ=sin(β－α)=

α=，β= ，此时f（θ）=

事实上，当α=，β= 时，

存在着满足条件α=，β= ，使得F(θ)=(常数)。

四、利用间接法简捷解题

很多数学问题若用直接法解决较麻烦，不妨从其它方面入手做也许会显得方便得多。

例4若关于x的方程4x+a・2x+a+1=0有实数解，求实数a的取值范围[]。

分析：这题可以看成是关于2x的一元二次方程，如果换元后采用一元二次方程在区间（0，+∞）上有实数解来直接来求参数a的取值范围较繁且还算量大，然而，从不同的角度去考虑就可找到较为简捷的解决方法。

解：令t=2（t＞0），则原方程可化为t2+at+a+1=0

变形后得当且仅当t=√2－1时取等号。

五、利用换元法简捷解题

换元法就是引入一个或几个新变量代换原式中的某些量，有时能起到化繁为简、化难为易，实现未知向已知转化的作用。

例5在曲线C：x2+4y2=36上求一点，使其到直线 l： y=-x+4的距离最大，并求最大距离。

分析：此题若直接设点的坐标为（x，y），利用距离公式d=

是很难求出的。

解：由曲线C：+ =1可设l与已知直线平行且和椭圆相切，切点为M（6cosθ，3sinθ），则 d=

当sin（θ+）=－1，即θ=2kπ－（k∈z）时，dmax=

此时M为（－）

六、利用数形结合法简捷解题

数形结合是抽象思维与形象思维有机的结合，恰当地通过“以形助数”或“以数解形”可以提高解题速度，优化解题过程。

例6求函数f（x）= 的值域。

分析：本题用代数方法直接求解难于解决，若能数形结合就易于求解。

数想形，从而原问题转化为：求半圆弧（x－2）2+y2=1（y≥0）上的点P与定点A（-1，-3）的连线的斜率的取值范围，如图可得KAB≤K≤KAC，易求当AC与半圆弧相切时，KAC=，且KAB=，

函数的值域为［ ］。