论在初中应用题教学中渗透数学建模思想

应用题反映了周围环境中常见的数量关系，需要用不同的数学知识把实际生活和一些简单科学技术知识联系起来，从而使学生既了解数学的实际应用，又初步培养了运用所学的数学知识解决实际问题的能力，培养了学生的创新能力，还可以发展学生的逻辑思维能力，分析问题的能力，培养学生良好的思维品质和良好的道德品质等。此外，应用题教学有利于培养学生学数学的兴趣，使学生感到数学是有用的，数学离我们并不遥远；初中数学也把解应用题作为一个重要考察内容。随着课程改革的深入，在近几年的中考中，命题者越来越注重对应用题的设置，加大了应用题的比重。因此，应用题的教学在初中数学教学中显得尤为重要。本人在多年来对应用题教学进行了深入的研究和实践，觉得在应用题教学过程中有计划、有步骤的渗透数学建模思想，培养学生的建模能力是教好应用题的一个好方法。下面就谈谈自己在应用题教学中如何渗透数学建模思想的一些做法和体会。

一、在应用题教学中渗透数学建模的思想,引导学生学会审题

学以致用，学数学是为了用数学。数学来源于生活，服务于生活，生活是丰富多彩的，数学应用题取材于生活，应用题的背景也是很复杂的，有的题目的篇幅比较大。应该先将题目通读一遍，抓住题目中的数量信息，引导学生思考：以前有没有做过这类题，如果做过这类题，可以利用原有的模型，列出代数式，解决这个问题；如果没有做过这类题，可以根据题目中各个量的关系，类比以前的模型，结合自己的经验，建立数学模型，找出等量关系列出方程。

例1 （娄底市2010初中毕业学业考试第23题的题目）近年来，政府大力投资改善学校的办学条件，并切实加强对学生的安全管理和安全教育．某中学新建了一栋教学大楼，进出这栋教学大楼共有2道正门和2道侧门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生；当同时开启一道正门和两道侧门时，3分钟可以通过840名学生．

（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门分别可以通过多少名学生？

（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%．安全检查规定：在紧急情况下，全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼的教室里最多有1500名学生，试问建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由．

这个题目的篇幅比较大，快速准确的审题是关键，渗透数学建模建模思想可以帮助学生快速准确的审题。审题一般分为三步：

（1）通读题目，理解题意；

（2）联想以前解过的题目，结合生活经验，发现本题可以类比 “工程问题”这个数学模型建立新的数学模型“一道门每分钟通过的人数 时间=这道门通过的总人数”

（3）接着只要有针对、有目的地从题目中找出有用的信息，“同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生”和“当同时开启一道正门和两道侧门时，3分钟可以通过840名学生．”并且找出要求的，如上题中“平均每分钟一道正门和一道侧门分别可以通过多少名学生？”这样一来在审题中运用数学建模思想，只要对背景材料进行去伪存真的加工，抓住题目的主要信息，可以节约审题的时间，提高审题的准确性，从而使问题快速得到解决。

二、在应用题教学中渗透数学建模的思想,引导学生自主探究数学模型

数学建模教学旨在拓展学生的思维空间，让学生积极主动地去关心社会、关心未来，改变“唯书唯上”、习题演练的现状，让数学贴近现实生活，从而使学生在进行数学知识和实际生活双向建构的过程中，体会到数学的价值，享受到学习数学的乐趣，体验到充满生命活力的学习过程。这对于培养学生的应用意识和创新精神是一个很好的途径，也体现出新大纲中提出的“学数学，做数学，用数学”的理念。

例2 （人教版七年级《数学》上册第89页问题2） “把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本，如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少学生？”

分析：这个问题对于大部分学生是难以解决的？教师可以通过分解难点，将问题转化成下面3个问题：

（1）把155本图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本，这个班有多少学生？

（2）把155本图书分给某班学生阅读，如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少学生？

（3）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少学生？

原来的问题因为没有给出图书的总数，因为学生人数和图书总数都不知道，学生比较难形成数学模型，通过教师的改编之后，第（1）（2）个问题因为图书的总数已知，学生比较容易发现数学模型“每人分书本数 学生人数=书的总数”，这样，将问题分解成学生容易达到的问题，有利于学生自主形成数学模型。有了前面探索出来的模型，学生很容易将它运用到第（3）个问题中，利用前面探究出来的数学模型列出两种分法的图书总数的代数式，这两种分法的图书总数不变，即“第一种分法图书总数=第二种分法图书总数”，利用这个等量关系列出方程使问题得到解答。

以上问题的数学模型为：每人分书本数 学生人数=书的总数。因为每次分书，不一定正好分完，所以教师应该再引导学生得到一个拓展模型：“局部+局部=书的总数” ，具体为“每人分书本数 学生人数+剩余本数=书的总数”或“每人分书本数 学生人数-缺的本数 =书的总数”。分解难点，引导学生自主探究数学模型，循序渐进地引导学生深入探究数学模型是应用题教学的有效途径。

三、在应用题教学中渗透数学建模的思想,运用图表等工具帮助形成数学模型

分类思想是重要的数学思想方法，在应用题的教学中借助图表可以将各个量进行分类，使条件和结论条理化，便于问题的解决，提高思维的效率。

例3 为了提高铁路的运力，我国铁路工程人员经过不懈努力促成了2010年武广高铁的诞生。速度比原来平均提高了200千米／时，用相同的时间，一般列车原来行驶312千米，而高铁动车组多行驶500千米，那么一般列车的平均速度是多少？

为了解决以上问题，教师可以引导学生先审题，得出这是一个行程问题，建立数学模型“速度 时间=路程”涉及到速度、时间和路程三个量，以这三个量为表头，并将问题分为一般列车和高铁动车组两类，制作以下表格。根据题目要求设一般列车的平均速度是x。

四、在应用题教学中渗透数学建模的思想,引导学生将应用问题进行分类，分别形成各类数学模型

为了增强学生的建模能力，在应用问题的教学中，及时结合所学章节，引导学生将应用问题进行归类，使学生掌握熟悉的实际原型，发挥“定势思维”的积极作用，可顺利解决数学建模的困难。这样，学生遇到应用问题时，针对问题情景，就可以通过类比寻找记忆中与题目相类似的实际事件，利用联想，建立数学模型。这里笔者提出一种新的探索方向,在对应用题的划分中给出一种按照解题模型来划分的方法,更侧重于利用等量关系中蕴涵的数学模型. 应用题取材广泛，生活中各种各样的问题都可以用来作为应用题的背景，利用数学中的分类思想可以将它们分为几类典型的数学模型，在应用题教学中，我们可以引导学生自己建立每一类问题的模型，

五、在应用题教学中渗透数学建模的思想,引导学生将各类问题抽象成同一个数学模型

数学从内容到方法都显示出极具高度的抽象性。数学抽象是抽象方法在数学中的具体运用，也就是利用抽象方法把大量生动的关于观察现实世界空间形成和数量关系的直观背景材料进行去伪存真、由此及彼、由表及里的加工和制造，提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论，数学只是量的科学，和一般的自然科学相比，数学抽象的特点在于它所达到的高度，数学的抽象程度远远超过了自然科学中的一般抽象。数学抽象就是一种建构的活动，数学研究对象是通过逻辑建构活动来得到构造的。在教学中可以充分运用数学的这种特性，将同类的应用题抽象为一个模型，也可以将不同类的抽象为一个模型。