证明“线段和”问题常用的几种方法

山东教育出版社(2006)义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册(以下简称“鲁教版(2006)数学八年级下册”)77页“试一试”：

已知：如图1，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与AD相交于点P，求证：PD+DC=BC.

这道题的解答过程如下：因为平行四边形ABCD中，AD∥BC，所以∠APB=∠PBC，因为BP平分∠ABC，所以∠ABP=∠PBC，所以∠APB=∠ABP，所以AB=AP……第一步；因为平行四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，所以BC=AD=AP+PD=AB+PD=CD+PD……第二步.

本题实际上是证明“两条较短的线段的和等于一条较长线段”的问题，我们可以简称为“线段和”问题，此题给出了证明“线段和”问题的基本思路：将两条较短线段或较长线段分别用与它们相等的量进行代换，而新的等量关系易于证明. 现行教材中“线段和”问题很多，常用的证明方法有以下三种.

1 从已有条件寻找等量关系，进行等量代换

1.1 “试一试”解答过程有一个基本规律：遇到角平分线和平行线相结合的图形马上得到一个等腰三角形，然后进行等量代换，使命题得证. 这一规律有着广泛的应用.

将“试一试”中平行四边形ABCD的边CD向左平移与AP相交得到：

例1 如图2，在平行四边形ABCD中，如果∠ABC的平分线与AD的延长线相交于点P，猜想PD、DC、BC有何关系?并证明你的结论. (PD+BC=DC)

例2 如图3，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E. 求证：BD+EC=DE.

例3 如图4，ABC中，I是角平分线BE和CF的交点，MN经过I，平行于BC，交AB于点M，交AC于点N. 求证：MN=BM+CN.

例4 如图5，EF是梯形ABCD的中位线，AF平分∠DAB. 求证：AD=2EF(鲁教版(2006)数学八年级下册136页第29题).

这里的“AD=2EF”，可以看作“AD=EF+EF”，先证出AE=EF，因为AD=2AE，所以AD=2EF. 此题还可以改为：如图5，EF是梯形ABCD的中位线，AF平分∠DAB，求证：AB+DC=AD. 改后的题目既具有“线段和”问题的特征，又增加了梯形中位线定理的内容.

1.2 通过全等三角形、等腰直角三角形等知识寻找等量关系，进行等量代换

例5 如图6，在ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为点E. (1)已知CD=4，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD(鲁教版(2006)数学八年级下册31页例1).

分析 先证出ACD≌AED(AAS)得AC=AE，CD=DE，再证BDE为等腰直角三角形得DE=BE，所以CD=BE，所以AB=AE+BE=AC+CD.

例6 如图7，正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，EFAC交BC于F，求证：AB+BF=AC.

例7 如图8，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AMEF，垂足为M，AM=AB，求证：EF=BE+DF.

证明 连结AE、AF，分别证ABE≌AME(HL)和ADF≌AMF(HL)得BE=EM，DF=MF，所以EF=EM+MF=BE+DF.

例6是将例5放到正方形ABCD中，等腰直角三角形ABC变成了隐含条件，例7则是将例6进一步改编，通过两组全等三角形找到等量关系，进行等量代换.

2 利用截长补短法，构造等量关系，进行等量代换

将例5去掉条件“DEAB”成为：

例8 已知AB是等腰直角三角形ABC的斜边，AD是角平分线，求证AC+CD=AB.

证法1 如图9，过点D作DEAB于E，就成为上面的例5的第(2)问，这种方法是将较长线段AB截成了AE和BE两段，然后证明这两段分别和等号左边的AC和CD相等，从而命题得证. 我们称这种方法为“截长法”.

证法2 如图10，延长AC至F，使AF=AB，连结FD，先证出AFD≌ABD(SAS)，得∠F=∠B=45°，再通过CDF是等腰直角三角形得CF=CD. 所以AC+CD=AC+CF=AF=AB，这种方法是将一条较短线段AC补了一块CF后与较长线段AB相等，再证所补的线段CF恰好等于另一条较短线段CD，从而命题得证. 我们称这种方法为“补短法”，在证明“线段和”问题时，如果不能直接找出等量关系，可考虑用“截长法”或用“补短法”构造等量关系，进行等量代换.

本例中由于∠C=90°，∠B=45°所以∠C=2∠B，即其中一个角是另一个角的2倍，将此题扩展为一般形式得：

例9 ABC中，∠B=2∠C，AD是角平分线，求证：AB+BD=AC.

证明 (1)截长法：如图11，在AC上截取AE=AB，连结DE，先证ABD≌AED(SAS)得BD=DE，∠B=∠AED，再由∠AED=∠B=2∠C，证出∠EDC=∠C，所以BD=DE=EC，所以AB+BD=AE+EC=AC.

(2)补短法：如图12，延长AB至F，使AF=AC，先证AFD≌ACD(SAS)得∠F=∠C，再证∠F=∠BDF，所以BF=BD，所以AB+BD=AB+BF=AF=AC.

将例9中的条件“AD是角平分线”改为“AD是高”，便成为：

例10 如图13，ABC中，∠B=2∠C，AD是高. 求证：AB+BD=CD.

分析 (1)用截长法：在DC上截取DE=BD，连结AE；(2)用补短法：延长DB至F，使DF=DC证明过程略.

图13例11 在ABC中，AB=AC，CD是边AB上的高，M是BC上任意一点，MEAB，MFAC，垂足分别是点E、F求证：ME+MF=CD(鲁教版(2006)数学八年级下册136页30题(1)).

证明 (1)截长法：如图14，过点M作MGCD交CD于G，先证四边形DEMG是矩形得DG=EM，再证MGC≌CFM(AAS)得MF=CG，所以ME+MF=DG+CG=DC.(2)补短法：如图15，过点C作CHEM交EM延长线于H，先证四边形DEHC是矩形得EH=DC，再证CHM≌CFM(AAS)得MF=MH，所以ME+MF=ME+MH=EH=DC.

将例11的条件“ABC”改为“梯形ABCD”变为：

例12 如图16，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，P为BC上任一点，PEAB，PGCD，CFAB求证：PE+PG=CF. 证明方法同例11.

例13 如图17，ABC中，AB=AC，∠A=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点E，∠BDC=90°，求证：CE=2BD(鲁教版(2006)数学八年级下册134页第10题).

分析 采用补短法，可将结论看作是CE=BD+BD. 延长BD交CA的延长线于点F，分别证明CEA≌BFA(ASA)和BDC≌FDC(ASA)得CE=BF，BD=DF，所以CE=BF=BD+DF=2BD.

例14 如图18，梯形ABCD中，AB∥DC，E是腰AD的中点，且BECE求证：AB+DC=BC.

证明 采用补短法，延长CE交BA的延长线于点F，通过全等三角形证出DC=AF，BF=BC，所以AB+DC=AB+AF=BF=BC.

例15 如图19，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，并且AF平分∠EAD，求证：BE+DF=AE.

分析 采用补短法，延长EB至G，使BG=DF通过全等三角形证出DF=BG，再证明∠GAE=∠BAF=∠AFD=∠G，所以AE=GE，所以BE+DF=BE+BG=GE=AE.

例8～例12都可以用“截长法”和“补短法”两种方法解答，但是例13～例15由于条件所限或考虑解答的难易程度，适宜采用一种方法解答. 因此用“截长补短”法证明“线段和”问题，应根据具体问题具体分析，灵活选用.

3 面积证法

有的“线段和”问题用上述两种思路解答不出来时，还可以考虑采用面积证法，往往起到“事半功倍”的效果.

作者简介：杨永利，男，1975年3月生，山东文登人.中教一级. 主要研究方向为：初中数学课堂教学改革、教材教法、思路方法技巧. 2007年10开始参与两项威海地级课题《家庭教育研究》、《推行赏识化教学，构建生命化课堂》研究，承担重要研究工作. 多篇.

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