“近日点快,远日点慢”现象的理解证明

通过《万有引力定律》一章的学习，同学们对天体运动知识有了一定了解，知道地球公转过程中会出现“近日点快，远日点慢”的现象，但对为什么有此现象，同学们尚不清楚，现用所学的物理知识从不同的角度加以分析证明，以飨读者。

（一）利用机械能守恒定律加以证明

机械能守恒定律认为：对于由若干个物体组成的系统，如果系统内只有保守力作功，那么，系统内各物体的动能和各种势能之间可以相互转换，他们的总和是恒量。如图所示：近日点的速度为V1，远日点的速度为V2，R1> R2，M为太阳的质量，m为地球的质量。如果选取无限远处为重力势能参考面，则远日点的重力势能为Ep1=－，动能为EK1=，近日点的重力势能为Ep2=－，动能为 EK2=。根据机械能守恒定律：Ep1+ EK1= Ep2+ EK2，又因为R1> R2，可得：V2> V1

（二）利用开普勒第二定律加以证明

开普勒第二定律认为：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积即SR=C（C为恒量）。如图所示：在相同的时间内地球在远日点由位置1运动到位置2；1到2的弧长为S1，地球在近日点由位置3运动到位置4；3到4的弧长为S2，在地球绕太阳转动过程中，满足开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。因此在相同的时间t内，地球在近日点扫过的面积与地球在远日点扫过的面积相等。则有S1R1=S2R2，V=（式中S即为弧长），可得：=。又因为R1> R2，可得：V2> V1

（三）利用万有引力提供向心力加以证明

地球绕太阳的运动轨迹是椭圆，则有近日点的曲率半径和远日点的曲率半径相等均为R。在地球运动到近日点时，地球所需的向心力是由地球和太阳之间的万有引力提供：

（式中R2表示近日点距离）---------（1）

在地球运动到远日点时，地球所需的向心力是由地球和太阳之间的万有引力提供：

（式中R1表示近日点距离）--------（2）

（1）式和（2）式可得：

-----------------------------（3）

又因为R1> R2，可得：V2> V1

（四）通过实际观察数据可知

通过实际观察发现地球质心绕太阳在一个椭圆轨道上的转动。方向从北半球看来为逆时针向。轨道半长径即日地平均距离约1.496×108km。观测表明，地球于1月3日前后经过近日点，这时的日地距离约为1.471×108 km，公转速度达到最大值，约30.3 km/s；大约在7月4日左右经过远日点，与太阳的距离增大到1.521×108 km，公转速度减低到最小值，为29.3 km/s。

通过上述几种分析证明和观察数据，可以使学生对为什么在地球公转的速度中“近日点快，远日点慢”有进一步的理解。同时也对学生学习物理产生一定的兴趣。