几种证明群同态与同构的常见方法

摘要：本文总结几种常用来证明群同态与同构的方法，并列举些典型的例子加以演示。

关键词：群同态；群同构；凯莱定理

【中图分类号】G642

1.引言

同态与同构在近世代数的整个课程体系起到非常关键的作用，它是研究近世代数的一个重要的工具。鉴于同态与同构的重要作用，所以如何掌握同态与同构就显得尤为必要。群是近世代数研究的一类代数系统，而群同态与同构就为研究群间的关系的有力工具。而在一般的近世代数教材，如[1]，[2]，[3]等，一些研究群同态的论文，如[4]，[5]，[6]等，都没有较详细的介绍证明群同态与同构的方法，在最近几年的近世代数的课程教学中，许多学生都对群同态与同构感到高深莫测，即使最简单的群间的同态与同构问题，往往无从下手。本文针对这种情况，探讨了几种证明群同态与同构的常见方法。

2.证明群同态与同构的常见方法

定义1[1] 设 与 是两个群，如果有一个 到 的映射 保持运算，即

则称 为群 到群 的一个同态映射；当 为满射时，称群 与 同态，记为 ；当 为双射时，称群 与 同构，记为 。

注1 用定义来证明群同态与同构是最基本的方法，若用定义法来证明群同态与同构必须明确两群的具体结构及运算，以便快捷准确地找到两群间的同态或同构映射。

例1、 设 为正整数， 为整数加群，证明：

分析：由 ， ，而

，从而 便为 到 的同构映射。

证明： ，即证。

例2、证明： ，其中 为有理数集， 为整数集， 为所有单位复数根的乘法群。

分析：由 ， ，而

为偶数 ，从而 便为 到 的同构映射。

证明： ，即证。

结论1[1] 设6阶群 不是循环群， 则同构于次对称群 。

例3、设 ， 分别为三、四元对称群， 为Klein四元群，证明：

证明：对 ，有

从而 为 的正规子群，且 为6阶有限群，又 中无6阶元，从而 为6阶非循环群，由结论1得证。

定理1[1] 任何 阶有限群都同 元对称群 的一个子群同构。

例4、同例1

证明：因为

，

从而 ， 均为 阶群，且均与置换群 同构，即证。

定理2[1]（群同态基本定理）设 是群 到群 的一个同态满射，则 为 的正规子群，且

注2：此定理为证明群同构常用的方法，此方法必然有一个为商群，构造性比较强，就是要找到一个从群 到群 的一个同态满射，并使这个同态满射的核恰为 。

例5、同例2

证明：由于 ，设 ，则 从 到 的一个满射，

，从而 从 到 的一个同态满射，且

从而由定理2得证。

参考文献

[1]杨子胥.近世代数 [M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]刘绍学.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1999.

[3]胡冠章，王殿军.应用近世代数[M].北京：清华大学出版社，2006.

[4]黄崇智.关于同态与同构[J].内江师范学院学报（自然科学版），2002，17（6）：62- 66.

王高振，男，讲师，79年9月，硕士，主要从事高等数学的教学与研究

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