久期规划策略证明及应用

摘要：久期规划策略通过定期调整债券组合成份券，保持平均久期固定，可以实现在投资期限内，无论成份券的到期收益率如何波动，债券组合的平均年化收益率都会稳定地向初始到期收益率收敛，收敛过程的波动率会随着投资年限的增长而逐渐缩小。

关键词：久期规划 到期收益率 跟踪误差 债券指数

久期规划（Duration Targeting，下文中简称DT）是由固定收益大师莱伯维茨博士在今年出版的新书《Inside The Yield Book》中提出的债券投资策略。该策略虽然简单直观，却颠覆了我们对于债券作为固定收益金融产品的传统认知：一是久期不仅可以用作衡量债券利率风险的指标，还可以作为锁定债券组合投资收益的标杆。二是债券组合的应计利息在经过一定投资年限的累积后会抵消相对应的净价变化对投资收益的影响。

在此，笔者将久期规划策略的主要理论呈现给读者，并将该策略应用于中央结算公司编制的不同类型的债券指数，通过追踪债券指数的投资收益率确实向初始到期收益率收敛，在保持投资期限内的久期稳定的条件下，验证了久期规划策略的有效性。

久期规划策略的内容及证明

债券组合的投资方式大致可以分为三类：持有至到期、久期免疫和久期规划。持有至到期以追求绝对收益为目的，回收金额和期限固定，但是债券组合在投资过程中的价值会受到债市波动的直接影响。久期免疫用于资产负债管理，主要目的在于减少由利率期限结构变化而带来的风险。二者的共同点在于债券组合的久期均会随着时间流逝而逐渐降低。与之不同的是，久期规划策略通过定期调整债券组合成份券，保持组合平均久期固定，可以实现无论各成份券的到期收益率如何波动，债券组合的年化收益率会稳定地向组合初创时的加权到期收益率收敛，并且收敛的波动率会随着投资年限的增加而逐渐减小。久期规划策略的执行可以通过设定一个债券投资组合的久期目标或者追踪一支久期稳定的债券指数实现。在下文中笔者分别通过趋势线模型以及随机行走模型对久期规划理论进行证明，并给出该策略的跟踪误差以及总波动率的衡量方法。

（一）趋势线模型（Trendline Model）

图1 趋势线模型（单位：%、年）

在趋势线模型中，我们假定持有平均久期为的零息债券组合，且每年该组合到期收益率等量递增。如图1所示，该组合的到期收益率初始值为3.0%，最终值为5.5%，在5年的持有期内每年增加0.5%。为了保持久期稳定保持在5.0的目标（D=5.0），我们在每年的年末对组合进行调整，卖出久期较小的旧债，购入久期较长的新债。

对于零息债券，我们可以用如下公式近似计算其在年末投资收益率：

在第1年末的时候，利用上述公式我们可以推算出第一年投收益率为：。以此类推，表1列出了每年进行调整后的投资回报率。

表1 趋势线模型收益逐年变化（久期D=5年，投资期限N=5年）

年 初始到期收益率 到期收益率变化 最终到期收益率 久期 净价变化 年末总回报率

1 3.0% 0.5% 3.5% 4.0 -2.0% 1.0%

2 3.5% 0.5% 4.0% 4.0 -2.0% 1.5%

3 4.0% 0.5% 4.5% 4.0 -2.0% 2.0%

4 4.5% 0.5% 5.0% 4.0 -2.0% 2.5%

5 5.0% 0.5% 5.5% 4.0 -2.0% 3.0%

6 5.5% 0.5% 6.0% 4.0 -2.0% 3.5%

7 6.0% 0.5% 6.5% 4.0 -2.0% 4.0%

8 6.5% 0.5% 7.0% 4.0 -2.0% 4.5%

9 7.0% 0.5% 7.5% 4.0 -2.0% 5.0%

平均值 5.0% 0.5% 5.5% 4.0 -2.0% 3.0%

表1显示，债券组合在每次调整后，由于债券到期收益率增加而带来的净价损失是-2.0%，然而由应计利息累积的投资收益却在逐年递增（由第1年时的3.0%增加至第5年时的5.0%），但是净价损失所带来的影响还是主导了投资收益，前5年的平均年化收益率只有2.0%。我们由此继续推算，当久期规划策略执行到第9年的时候，由不断增加的应计利息累积所产生的投资收益会抵消净价方面的损失，9年持有期的平均年化收益收敛至该组合的初始到期收益率3.0%。

表1仅描述了到期收益率持续增加的一种情形。事实上，当债券的到期收益率下跌时，在净价方面的获利会被不断下降的应计利息收益削减。表2描述了在5年的投资期限后，最终到期收益率在（-3%，3%）的区间之内，超额年化收益率（Excess Return）（等于年化收益率-初始到期收益率）与到期收益率变化的关系。

表2 趋势线模型收益和价格变化（D=5年，N=5年）

到期收益率变化合计 净价变化合计 应计利息累积合计 总收益合计 5年平均年化收益率 超额年化收益率 超额年化收益率/到期收益率变化

-3.0% 12.0% 9.0% 21.0% 4.2% 1.2% -0.40

-2.0% 8.0% 11.0% 19.0% 3.8% 0.8% -0.40

-1.0% 4.0% 13.0% 17.0% 3.4% 0.4% -0.40

0.0% 0.0% 15.0% 15.0% 3.0% 0.0% -

1.0% -4.0% 17.0% 13.0% 2.6% -0.4% -0.40

2.0% -8.0% 19.0% 11.0% 2.2% -0.8% -0.40

3.0% -12.0% 21.0% 9.0% 1.8% -1.2% -0.40

值得注意的是，表2中第7列中超额收益率与到期收益率变化的比率一直是-0.4，这个比率被称为趋势线久期（Trendline Duration）。在久期规划策略中，趋势线久期可以用代表应计利息累积因素的累积因子（Accrual Factor）与代表投资期限因素（也可视为代表净价影响）的久期因子（Duration Factor）描述：

图2 累积因子与久期因子对投资收益的影响（横轴单位：年）

如图2所示，在执行久期规划策略的初期，代表净价影响的久期因子对投资收益起主导作用，远高于累积因子的影响。然而，当久期因子与累积因子相等的时候，趋势线久期等于0。此时无论债券组合的到期收益率处于何处，该组合的平均年化收益率与初始到期收益率相等。在图2中，累积因子与久期因子在第9年时相交，印证了表1的平均年化收益率向初始到期收益率在第9年收敛的结果。

由此我们可以得出，当投资期限为2倍久期目标减1的时候，趋势线久期等于0，该投资期限被称为有效到期日（Effective Maturity），有效到期日描述了实现收益率收敛所需的投资期限长度。

（二）随机行走模型（Random Walk Model）

趋势线模型可以扩展为包含随机行走的更符合实际债市波动的模型。利用随机行走模型，我们可以估算出由债券收益率波动而带来的趋势线波动率（Trendline Volatility）与跟踪误差（Tracking Error）。在随机行走模型中，趋势线波动率与跟踪误差互相独立，共同构成了久期规划策略投资收益的总波动率（Total Volatility）。

趋势线波动率是指由最终到期收益率的随机变化而产生的波动率，也是超额年化收益率的波动率。我们假设到期收益率的变化是一个以均值为0，年化标准方差为1.0%（）的随机行走过程。在5年的投资期限后，最终到期收益率变化的标准方差变为，这也意味着68%的收益率变化会在倍标准方差之内。

在表2中，我们可以发现使用趋势线模型的5年期年化超额收益率等于第5年时趋势线久期的负值（-0.4）乘以到期收益率变化合计（到期收益率最终值-初始值）：

所以，趋势线波动率可以由以下方法计算：

图3 趋势线波动率（D=5年，单位：%、年）

在图3中我们可以看到，随着投资期限的增加，趋势线波动率由第1年时的4%，快速减少到第5年的0.89%。当投资期限等于有效到期日时（），趋势线波动率为0，9年投资期限的平均年化收益率等于初始到期收益率。

图4 非趋势线路径（单位：%、年）

趋势线波动率描述的是最终到期收益率的随机变化情况，然而如图4所示，非趋势线路径中所产生的应计利息累积与趋势线模型的应计利息累积结果之间存在残差，跟踪误差（Tracking Error）即描述残差部分的随机变化，跟踪误差可以用下面的公式近似获得：

有了趋势线波动率和跟踪误差之后，我们可以计算出在不同的投资期限N时，久期规划策略投资收益的总波动率：

图5 久期规划策略收益的总波动率（D=5年，，单位：%、年）

在图5中我们可以看出，一个久期目标为5.0的久期规划投资组合的投资收益总波动率由第1年时的4%，逐渐减小至第3年的1.8%和第4年的1.38%。在第8年时总波动率达到最小值0.84%。

中债指数的策略应用

为了验证久期规划策略在债券指数化投资中的收益率收敛效果，笔者选取了中央结算公司编制的六支债券指数进行测试：分别是中债-综合指数、中债-中短期债券指数、中债-长期债券指数、中债-固定利率金融债指数、中债-浮动利率金融债指数及中债-高信用等级中期票据指数。

（一）中债-综合指数策略应用

图6 中债-综合指数平均市值法久期

数据来源：中债综合业务平台

由图6中我们可以看到，中债-综合指数在2002年创建以来，平均市值法久期稳定在4左右。过去12年该指数的平均久期为4.3，过去3年间该指数到期收益率的平均年化波动率是1.5%。如果我们选择投资期限为4年，根据久期规划理论，4年期的年化投资收益率应该向4年前该指数的平均到期收益率收敛，二者误差在总波动率的范围之内。

图7 投资中债-综合指数平均市值法到期收益率与4年年化收益率

数据来源：中债综合业务平台

图7中蓝色的曲线为中债-综合指数的平均市值法到期收益率从2002年至今的走势，橙色的曲线为从2002年开始投资该指数4年的平均年化收益率。如果我们将橙色的曲线向前挪动，使之与中债-综合指数的到期收益率曲线重叠，年化收益率确实向初始到期收益率收敛（图8），两条曲线走势基本一致。

图8 投资中债-综合指数4年年化收益率收敛

数据来源：中债综合业务平台

在图8中，我们可以进一步发现2002-2008年的年化收益率与到期收益率之间误差较大，超出了总波动率的范围。这是因为2008年之前中债综合指数的久期呈现趋势性下降（见图6），久期规划策略所要求的久期稳定条件没有满足。2008年3月至今的中债综合指数久期比较稳定，今年6月份以来的债市收益率显著上涨，扩大了收益率波动率，但是投资收益与初始到期收益率的误差依然符合之前的总波动率范围（图8中箭头标示的区间）。

（二）中债-中短期与长期债券指数策略应用

图9 投资中债-中短期指数4年年化收益率收敛（单位：%）

数据来源：中债综合业务平台

2005至今，中短期债券指数的平均久期为3.90，图9为投资该指数4年的平均年化收益率（红色曲线）向4年前的初始到期收益率（蓝色曲线）收敛。

图10 投资中债-长期指数4年年化收益率收敛

数据来源：中债综合业务平台

2002年至今，长期债券指数的平均久期为12.16，图10为投资该指数10年的平均年化收益率（红色曲线）向10年前的初始到期收益率（蓝色曲线）收敛。

（三）中债-固定与浮动金融债指数策略应用

图11 投资中债-固定利率金融债指数9年年化收益率收敛

数据来源：中债综合业务平台

2002年至今，固定利率金融债指数的平均久期为5.08，图11为投资该指数9年的平均年化收益率（红色曲线）向9年前的初始到期收益率（蓝色曲线）收敛。在第9年时趋势线波动率几乎为0，上面右图中蓝色与红色的差别仅为跟踪误差。

图12 投资中债-浮动利率金融债指数4年年化收益率收敛

数据来源：中债综合业务平台

2008年至今，浮动利率金融债指数的平均久期为3.76，图12为投资该指数4年的平均年化收益率（红色曲线）向4年前的初始到期收益率（蓝色曲线）收敛。由于浮动利率债到期收益率波动性较固定利率债券高，过去3年的浮动利率债收益率的波动率为1.8%，而同时期的固定利率指数到期收益率波动率为1.5%，图12中的收益率收敛较固定利率金融债波动性更大。

（四）中债-高信用等级中期票据指数策略应用

图12 中债-高信用等级中期票据指数4年年化收益率收敛

数据来源：中债综合业务平台

2008年5月至今，高信用等级中期票据指数的平均久期为2.81），图13为投资该指数4年的平均年化收益率（红色曲线）向4年前的初始到期收益率（蓝色曲线）收敛。

从以上四个策略应用可以看出，在保持投资期限内的久期稳定的条件下，无论由何种类型债券组成的债券指数都验证了久期规划策略的有效性。

小结

债券作为固定收益金融产品，与股票等风险资产的差异在于，应计利息会随着投资期限的延长而逐年累积。因为通常对债券组合的收益/风险的分析是在较短的投资期限内， 所以应计利息对于投资收益的影响被忽视。在久期规划策略中，随着投资期限的延长，应计利息对投资收益的影响不断上升，并在有效到期日后超过净价变化对投资收益的影响。

莱伯维茨博士所提出的久期规划策略在商业银行中其实已被隐性地使用，持有至到期由各种长短期限的债券所组成的阶梯型组合，并不断地在旧债到期后购买新债，持债组合的久期保持了一定程度的稳定。在实际的投资过程中，久期规划策略展现出两面性：一方面，如果投资者对当前的到期收益率满意，他无须担心未来的债市波动会对投资收益造成负面影响。另一方面，执行久期规划的债券组合可以被视为“收益率陷阱”，因为投资者即使不满意当前债券的收益率，也无法寄希望于未来上扬的到期收益率对投资收益有所改进。从这个所谓的“收益率陷阱”离开的方法就是实质上延长或者缩短债券组合的久期。

对于当前高企的债市收益率，笔者认为无论是通过久期规划策略安全地锁定较高收益率还是在未来收益率下降时实现交易性获利，债券指数化投资都不失为一种值得考虑的投资方式。但也需防范债市收益率继续上升所带来的风险。

作者单位：青岛农商银行资金运营部

参考文献

[1]中央国债登记结算有限责任公司，中债指数编制说明，2012

[2] Martin L. Leibowitz， Inside the Yield Book： The Classic That Created the Science of Bond Analysis， 2013

[3] Martin L. Leibowitz， Duration Targeting： A New Look at Bond Portfolios， 2012