定积分的计算与应用

摘 要：定积分是微积分学中从实际问题中抽象出来的一个重要的基本概念.主要讨论定积分的计算及其应用，对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结，并较为深入地探讨了定积分在几何、经济等领域都有着非常广泛的应用.

关键词：定积分；计算；应用

众所周知，微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数.所以，微分与积分互为逆运算.

实际上，积分还可以分为两部分.第一种是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F（x）的导数是f（x），那么F（x）+C（C是常量）的导数也是f（x），也就是说，把f（x）积分不一定能得到F（x），因为F（x）+C的导数也是f（x），C是无穷无尽的常数，所以f（x）积分的结果有无数个，是不确定的.我们一律用F（x）+C代替，这就称为不定积分.

而相对于不定积分的，就是定积分.所谓定积分，就是以平面图形的面积问题引出的.y=f（x）为定义在[a，b]上的函数，为求由x=a，x=b，y=0，y=f（x）所围图形的面积S，采用古希腊人的穷举法，先在小范围内以直代曲，求出S的近似值，再取极限得到所求面积S，为此，应先将[a，b]分成n等份：a=x0

分的计算可转化为求f（x）的不定积分.其实定积分也叫黎曼积分.

定积分和积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要理论的支撑，使得它们有了本质上的密切联系.把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿—莱布尼兹公式.

定理（牛顿—莱布尼兹公式）：设函数f（x）在闭区间上连续，且 是它在该区间上的一个原函数，则：

2.周期函数的定积分

二、定积分的应用

定积分的概念是从许多实际问题中抽象出来的，所以它的应用是多方面的.几何上的应用包括求体积、弧长、面积；物理上的应用将包括计算力所做的功，静压力、引力等等；及其在经济上的一些应用.

（一）定积分在几何中的应用

特别地，当a=b=R时，得圆的面积为S=πR2.

（二）定积分在经济中的应用

例5.年金问题

年金指的是一系列定期支付问题。例如20次支付的生命保险费即组成一定数额的年金，它等于每年年底相等数量的支付额加上一定的利息，这里讨论的是按连续复利计算年金问题.

参考文献：

[1]Robert Ellis Denny Gulick.微积分：上[M].江苏：科学技术出版社，1987-06.

[2]谢盛刚.微积分：上[M].北京：科学出版社，2004-07.

[3]华东师范大学数学系.数学分析：上[M].北京：高等教育出版社，2000-04：255-258.

[4]何泳贤.微积分[M].北京：中国经济出版社，1998-05.

（作者单位 阜阳师范学院附属中学）