大学物理中矢量微积分的计算

【摘 要】矢量微积分贯穿于大学物理的多个章节，是大学物理的重点和难点之一。本文就矢量微积分的求解简单进行了归纳，以帮助初学者提高应用大学物理解决实际问题的理解和能力。

【关键词】矢量微积分;大学物理;求解

Calculation of Vector Calculus in University Physics

LIU Yang YANG Song LU Gang

（Basic Teaching Department of SUT， Liaoyang Liaoning 111003，China）

【Abstract】Vector calculus throughout the college physics of several chapters， it is important and difficult.in this paper， method for solving vector calculus was summarized， the purpose is to help beginners to improve the ability to solve practical problems of applied physics.

【Key words】Vector calculus;University physics;Solving

0 前言

大学物理与中学物理相比，最显著的区别就应用矢量、导数和微积分来分析和求解生活实践中更一般的实际问题，微积分思想和方法的运用，使大学物理相比于中学物理有质的飞跃。相对于高等数学只注重代数形式的导数和微积分性质和计算，大学物理中几乎全是矢量的导数和微积分模型的建立和求解[1]，如果没有掌握矢量的导数和微积分的处理方法，对于解物理问题，往往会觉得无从下手。本文就大学物理中矢量的导数和微积分的求解问题提出自己的一点见解，以期对初学者有所帮助。

1 矢量和微积分思想

矢量是既有大小又有方向的量。大学物理中很多物理量都是用矢量的乘法来表示，这就涉及矢量的点积与叉积，如功W=■・■=Frcosθ结果为标量，力矩■=■×■结果为矢量，其中θ为两矢量之间的夹角。与中学物理研究的大都是“常量”、“标量”， 用代数和平面几何去解决生活实践中某个特殊类型的问题不同，大学物理中的研究的大都是“变量”、矢量”，用矢量和微积分来解决生活实践中更一般的实际问题。

对于一般物理实际问题，常常需要应用微积分来解决，其基本思想是先“微”后“积”。由于物理量对时间或者空间分布不均，因而需要把研究物理量在时间或者空间范围内进行无限次分割，分割后的物理量在这些足够小的时空区域（即微元区域）就变成了均匀分布，这时恰当的选取微元，写出元过程或者元贡献的表达式，然后把所有有限小的过程累加求和[2]，再应用定积分，确定积分上、下限，然后求得计算结果。大学物理中的矢量求解，不管是微分还是积分，首先要将矢量标量化运算，也就是说先要把矢量向某一方向或者坐标系进行投影，然后再进行微积分运算。大体可以归纳为两类，一类是矢量的微分或求导问题，一类是矢量的积分问题。

2 矢量的求导问题

这类问题在大学物理中比较简单，一般就是先把矢量在坐标系进行投影，然后再在各个分量方向上求导。例如由位矢■（t）求速度■（t）和加速度■（t），则先对■（t）“矢量标量化运算”，即把■（t）向直接坐标系进行x，y，z方向进行投影，即有■（t）=x（t）■+y（t）■+z（t）■，然后在个方向上进行求导，如■（t）=■=■■+■■+■■，同样的，求加速度也是先投影后求导，■（t）=■=■■+■■+■■=■■+■■+■■。

3 矢量积分的计算方法和步骤

由于物理量对时间或者空间分布不均，矢量的积分运算包括：（1）矢量与标量微元的积分，如冲量■=■■dt的计算，把矢量在直角坐标系下正交分解后积分有：■=■■dt=■■■dt■+■■■dt■+■■■dt■;（2）矢量的点积积分运算，如功的计算W=■dw=■■・d■=■Fcosθdr，其中θ为矢量■和■的夹角，在直角坐标系下正交分解，点积后再进行积分运算有：W=■■・d■=■■■dx+■■■dy+■■■dtz;（3）矢量的叉积积分运算，如电流元在磁场中的受到的安培力为：■=■d■=■Id■×■=■IBsinθdl，θ为矢量 d■和■的夹角，直角坐标系下正交分解，叉积后进行积分运算[3]有：

■=■Id■×■=I■（B■dy-IB■dz）■+I■（B■dz-IB■dx）■+I■（B■dx-IB■dy）■=I■■

（4）矢量的混合积分运算，如动生电动势ε=■dε=■（■×■）・d■ =■vBsinαcosβdl的计算， 其中α为矢量■和■的夹角， β为（■×■）和 d■的夹角，直角坐标系下表示为

ε=■（■×■）・d■=■

矢量的积分的解题步骤：（1）选取积分微元。根据问题性质，选择恰当的坐标系，然后选取积分微元（时间微元dt，空间微元d■，质量微元dm，电荷微元dq，电流元Id■等）。（2）列出关系式。根据基本公式列出积分微元与待求量的关系式（如速度d■=■dt，功dw=■・d■，转动惯量dJ=r■dm，点电荷的电场强度d■=■■■■，电流元受到的磁感应强度d■=■■，电流元受到的安培力d■=Id■×■）。（3）统一积分变量，确定积分上下限。需要注意的是，如果是对于空间的矢量积分，积分前还需要把被积量和积分变量向坐标系进行投影，把矢量积分转化为标量积分求解。对于有多个变量，还需要由几何关系找出变量之间的关系式，把多个变量关系式化为同一变量的关系式，统一积分变量，确定积分上下限。（4）积分求解。矢量的混合（下转第192页）（上接第176页）积分难度较大，现举一例[4]来说明：如图，一金属棒OA在均匀磁场中绕过O点的垂直轴OZ作锥形匀角速度旋转，棒OA长l0，与OZ轴夹角为θ，旋转角速度为ω，磁感应强度为■，方向与OZ方向一致，如图1所示，试求OA两端的电势差。

图1

解：用动生电动势公式求解。将金属棒看成由许多线元组成，选取距离O点为，长度为的线元产生的动生电动势dε=（■×■）・d■，由题可知■垂直于■，（■×■）=vBsin（π/2）=vB，几何关系知v=ωlsinθ，任意时刻（■×■）的方向就是半径■的方向，■与d■线元的夹角为（π/2-θ），所以dε=（■×■）・d■=ωlsinθBdlcos（π/2-θ）=ωBlsin■θdl，对于整个金属棒，其电动势为ε=■dε=■=ωBlsin■θdl=■ωBl■■sin■θ

4 结论

大学物理中矢量和微元往往是联系在一起的，对于矢量微积分的求解，首先应该把矢量向某一方向投影，应用矢量点积或者叉积转化为标量运算，然后在进行积分运算;或者直接采用直角坐标系正交分解，进行点积或者叉积后再进行积分。能正确运用和求解微积分与对矢量微积分的理解是分不开的。教学中要精选例题，尽早引导学生从微积分的思想出发建立模型，学会分析和求解物理实际问题。

【参考文献】

[1]赵兴华.大学物理和中学物理的区别[J].中国科技信息，2005（22）：144.

[2]杨延玲.大学物理教学中的微积分[J].科技信息，2009（20）：56.

[3]同济大学数学系编.高等数学（下册）[M].北京：高等教育出版社，2007：13-21.

[4]王小力，张孝林，徐忠峰.大学物理典型题解题思路与技巧[M].西安交通大学出版社，2000：227.