动态问题在中考中的解答

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）11-008-01

探究几何图形（点，直线，三角形，四边形）在运动变化过程中与图形相关的某些量（如角度，线段，周长，面积及相关的关系）的变化或其中存在的函数关系，这类题目叫做图形运动型试题。

对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量，不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形（如特殊点，特殊值，特殊位置，特殊图形等）逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合，分类讨论，转化等数学思想加以解决。当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解。

解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题。

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力。图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。从数学思想的层面上讲：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类思想；转化思想等。研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向。只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向。下面以一道题为例，分析一下解法及谈谈自己的感悟。

一、问题再现

题目：如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移 个单位后得到的抛物线的解析式.

本题作为解答题的最后一题即压轴题，有难度，知识综合性强，能力要求高；突出核心知识、思想和方法的考查。虽然题干简洁，图形不复杂，但题目的解答不简单，要求学生把分散的信息串联起来，重新进行整合。

二、分析探究

利用待定系数法求出抛物线的解析式

求二次函数解析式的方法有顶点式、双根式、一般式等多种途径。根据已知条件OB=OC=3，OA=OD=1，可得A（1，0），B（-3，0），C（0，-3）三点的坐标，因此可用一般式求解。

APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论：

由于P、E都是动点，只有A点是定点，看起来好像很难找到突破口，但我们注意到条件要求APE为等腰直角三角形，所以只要能确定P点，E点也就解决。

①以点A为直角顶点.过点A作直线AD的垂线，与抛物线的交点即为所求点P.首先求出直线PA的解析式，然后联立抛物线与直线PA的解析式，求出点P的坐标；

②以点P为直角顶点.此时点P只能与点B重合；

③以点E为直角顶点.此时点P亦只能与点B重合.

抛物线沿射线AD方向平移 个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位.据此，按照“左加右减、上加下减”的原则，确定平移后抛物线的解析式。

三、解法探析

解：1、根据题意得，A（1，0），D（0，1），B（3，0），C（0，3）.

抛物线经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3），则有：

，解得 ，抛物线的解析式为：y=x2+2x3。

2、存在.APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：

（1）以点A为直角顶点。

如解答图，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点F。OA=OD=1，则AOD为等腰直角三角形，PAAD，则OAF为等腰直角三角形，OF=1，F（0，1）.设直线PA的解析式为y=kx+b，将点A（1，0），F（0，1）的坐标代入得： ，解得k=1，b=1，y=x1。将y=x1代入抛物线解析式y=x2+2x3得：x2+2x3=x1，整理得：x2+x2=0，解得x=2或x=1，当x=2时，y=x1=3，P（2，3）；

（2）以点P为直角顶点。

此时∠PAE=45°，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上.过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在；因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合.P（3，0）；

（3）以点E为直角顶点。

此时∠EAP=45°，由②可知，此时点P只能与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上.综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形。点P的坐标为（2，3）或（3，0）。

3、抛物线的解析式为：y=x2+2x3=（x+1）24。

抛物线沿射线AD方向平移 个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位，平移后的抛物线的解析式为：y=（x+1+1）24+1=x2+4x+1。

四、解题感悟

1、紧抓“变与不变”。动点解答题涉及变化，在运动变化过程中，既要关注不变的图形与条件，也要关注哪些条件发生变化；能否通过类比将“变化的部分”进行转化，其实本题（2）小题就可围绕不变的45°展开。

2、要注意“数形结合”。很多学生在解决此类动点问题时，不知道根 据图形的性质，寻找关系列方程或函数，这就是“有数无形”或“有形无数”的弊端。

3、突出建模过程，让学生深刻体会模型思想

反观日常的解题教学，教师对模型思想的教学，尤其对几何建模教学往往不太重视，对几何问题中隐含的模型研究揭示不够，解题教学往往停留在浅层次的做题层面上，学生不仅失去体会模型思想的时机，建模能力、分析和解决问题的能力也难以形成。

本题不是实际情境应用型问题，故所涉及的建模不是由“外”而“内”的显性几何建模，而是数学自身内部的隐性建模，往往会因不易发现而被忽视，失去模型教学的时机。面对此类几何内部建模的问题，需要教师能认识到位，课前预设，科学引导。