行列式计算中的一题多解问题

【摘 要】 行列式在高等代数这门课中，作为独立篇章，有着举足轻重的地位。每道行列式计算的题，都有不止一种解答的方法。我们以一道常见题为例，针对行列式计算的“一题多解”问题进行学习。

【关键词】 高等代数 行列式 一题多解

行列式的计算是高等代数课程中最简单最基本的。方法很多，如：三角形法、递推法、升阶法、降阶法、数学归纳法、特征值法等十余种方法。我们以下面这道简单的习题为例，研究其中的几种计算方法。

例：计算n阶行列式

分析1：此行列式的每一列都含有一个x和个，若把各行都加到第一行上去，第一行就出现一个公因式。提取这个公因式后第一行的元都是1，再将第一行乘加到其余各行，就可把化为三角形行列式来计算。

解法1：把的第2，3，……，n行都加到第1行上去，再从第1行

中提出公因式，得=

将第1行乘后分别加到第2，3，……，n行，得

==

分析2：因为行列式主对角线下方的元都是a。因此可对采用增阶的方法来计算，即在中添加一行及一列特殊的元，使新的阶行列式与相等，且这个阶行列式较易于计算。

解法2：把增加1行1列，成为与相等的阶行列式：

=

将第1行乘以后分别加到第2，3，……，行上去，再从第2，3，……，列提出因式，然后将第2，3，……，列加到第1列，得：===

==

当时，，以上结果也是对的。

【注】 因为主对角线以外的元都是a，主对角线上的元为x，若将第1行乘后分别加到其余各行，然后再将各列都加到第1列。也可将化为三角形行列式。

分析3：若把第1列的元都写成两个数之和的形式，把拆成两个行列式之和，经过适当变换可把用低于n阶的同类型的行列式来表示，然后可用递推法计算。

解法3：因为，所以

==

将第1个行列式按第1列展开，第2个行列式第1行乘后分别加到其余各行，得=

同理，=，于是

如此继续下去，可得

……

这个行列式的三种解法都很自然。解法1是直接利用行列式的性质，将行列式化简后计算的。是最基本、最简单的计算方法。经常使用。解法2比较灵巧，它的巧妙之处是所加入的行的第1个元是1而其余的元是a，所加入的列的第1个元（它也是第1行的第1个元）是1而其余的元是0，这样既可以保持原行列式的值，又便于将右下角的n阶子式化成三角形行列式，计算方便。解法3将左上角的元x写成，这样就可将拆成两个行列式之和。经适当计算后可把用类型相同的阶行列式来表示，这样递推下去就可求得行列式的值。

参考文献：

[1]魏献祝.《高等代数一题多解二百例》.福建人民出版社，1982.

[2]毛纲源.《线性代数解题方法技巧归纳》.华中理工大学出版社，2000.

[3]李忠傧.《高等代数百题多解法》.广西教育出版社，1989.

[4]钱芳华.《高等代数方法选讲》.广西师范大学出版社，1990.