行列式的特殊解法

【摘要】 行列式在高等数学中占有非常重要的地位，在高等代数、解析几何等很多数学分支中都有广泛的应用。本文列举了行列式的几种特殊计算方法：如数学归纳法，递推法等等，通过代表性的例题，阐述了不同类型的行列式的计算方法。

【关键词】 行列式三角形行列式范德蒙行列式

教材上介绍了一些行列式的基本计算方法，但基本方法只能处理一些较为简单的行列式，不能满足实际应用的需要.下面将在基本方法的基础上介绍一些特殊解法。

1数学归纳法

当Dn与Dn+1是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。

例1计算行列式D=x-1０…0０0x-1…００……………000…x-1anan-2an-3…a2a1+x

解：结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解。当n=2，D=x-1a2x+a1=x(x+a1)+a2=x2+a1x+a2，假设n=k时，有Dk=xk+a1xk-1+a2xk-2+…+ak-1x+ax当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开，得Dk+1=xDk+ak+1=x（xk+a1xk-1+a2xk-2+…+ak-1x+ak）+ak+1=xk+1+a1xk+…+ak-1x2+akx+ak+1由此，对任意的正整数n，有Dn=xn+a1xn-1+…+an-2x2+an-1x+an。

2递推法

2.1基本概念。

定义1：形为dn+k1dn-1+k2dn-2+…+krdn-r=0(2-1)的关系式称为阶齐次线性递推关系式，其中，均为常数，并且kr≠0，对应的方程kr+k1xr-1+k2xr-2+…+kn=0(2-2)称为(2-1)的特征方程。

定义2：对于序列a0，a1，a2，…定义Ｇ（x）=a0+a1x+a2x2+…，为序列a0，a1，a2，…的母函数。

2.2二阶常系数齐次递推表达式的解。

已知递推表达式

dn+pdn-1+qdn-2=0（p，q为常数且不为零）(2-3)

对应的特征方程为

x2+px+q=0(2-4)

d0，d1的值已知。

下面来解递推表达式(2-3)满足初始条件的特解：对于序列d0，d1，d2，d3…

令G（t）=d0+d1t+d2t2+d3t3…

为序列d0，d1，d2，d3…的母函数

则（1+pt+qt2）G（t）=d0+（d1+pd0）t

从而G（t）=■

再令H（t）=■

以下分三种情况来讨论：

①特征方程x2+px+q=0有两个相异实根：r1，r2时

H（t）=■=■+■=A■（r1t）n+B■（r2t）n=■（Ar1n+Br2n）tn，其中Ａ＝■，B=■

所以G（t）=[d0+（d1+pd0）t]H（t）=■■（r1n+1-r2n+1）tn+■■（r1n+1-r2n+1）tn+1=d0+■■[d0（r1n+1-r2n+1）tn+（d1+pd0）（r1n-r2n）tn

故dn=■d0（r1n+1-r2n+1）tn+（d1+pd0）（r1n-r2n）（n≥2）特征方程x2+px+q=0有两个共轭复根：r1，r2时，这种情况下(5)式也正确，但其中含有复数形式r1，2=r（cosθ±isinθ），以下来消除复数形式，其中r=■=q，θ=arctan■=arctan■。

根据欧拉公式得

r1n+1-r2n+1=2iq■sin（n+1）θ（2-5）

（r1n-r2n)=2iq■sinnθ（2-6）

把（2-6）、（2-7）代入（2-5）得

dn=■[d0q■sin（n+1）θ+（d1+pd0）q■sinnθ（2-7）

特征方程x2+px+q=0有两个相等实根：r1=r2=-■时

H（t）=■■■=■（■）=■（■un）=■nun-1=■nr1n-1tn-1

G（t）=[d0+(d1+pd0)t]H（t）=■d0nr1n-1tn-1+■n（d1+pd0）r1n-1tn=d0+■[（n+1）d0r1n+n（d1+pd0）r1n-1]tn

故dn=（n+1）d0r1n+n（d1+pd0）r1n-1（2-8）

2.3举例。

例2求n阶行列式5100…０1510…０0151…０……………0000…5的值

解：利用行列式的性质，按第一行展开得递推关系式dn-5dn-1+dn-2=0（n>2）(2-9)

对应的p=-5，q=1。计算d1，d2得d1=5，d2=24，对于（2-10）令n=2，得n=1，(d0无实际意义)，递推关系（2-10）对应的特征方程为x2-5x+1=0，得两个不同实特征解为r1=■，r2=■，代入（2-5）得dn=■

例3求n阶行列式2100…０1210…０0121…０0012…０……………0000…2的值

解：利用行列式的性质用第一行展开得递推关系式dn-2dn-1+dn-2=0（n>2）对应的p=-2，q=1。计算d1，d2得d1=2，d２=3，对于（2-11）令n=2，得d0=1，(d0无实际意义)，递推关系（2-11）对应的特征方程为x2-2x+1=0，得两个相同实特征解为r1=r2=1，把p=-2，q=1，d0=1，d1=2以及r1=r2=1代入（2-9）得dn=n+1。

3利用矩阵特征值计算

3.1基本概念。设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A的一个特征值。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值λ的特征向量，简称A的特征向量。

求矩阵特征值的方法：Ａx=λx，等价于求λ，使得（λE-A）=0其中E是单位阵，0为零矩阵，|λE-A|=0求得的λ值即为A值。

定理2:如果n阶矩阵A的全部特征值为λ1，λ2，λ3…λn，则|A|=λ1·λ2·λ3…λn。

定理3:设λ为方阵A的特征值，φ（A）为A的多项式，则φ（λ）为φ（A）的特征值。利用特征值的求法及定理2可以计算行列式的值。

3.2举例。

例4已知三阶矩阵A特征值为-1，1，2。设φ（A）=A3-5A2，求：|A|，|φ（A）|，|A-5E|[3]

解①由定理2得：|A|=1×（-1）×2=-2；②因为φ（A）=A3-5A2由定理3得φ（A）的特征值为：λ1=-4，λ2=-6，λ3=-1。所以|φ（A）|=（-4）×（-6）×（-1）=24。③A的特征多项式为f（x）=（λE-A）=（λ-1）（λ-2）（λ+1），令λ5，得f（5）=（5E-A）=（5-1）（5-2）（5+1）=72故|A-5E|=（-1）3|5E-A|=-72。

例5求n阶矩阵A=01…110…1………11…0的特征值及行列式。

解：|λE-A|=（λ+1）E-11…111…1………11…1=|μE-αα’|，其中μ＝λ+1，α=11…1。

由以上讨论|μE-αα＇|的根是μ=0（n-1重）和μ=α＇α=n。于是A的特征值中有n-1个满足λ+1=0，另一个满足λ+1=n。所以A的特征值为λ1=…=λn-1=1和λn=n-1。又|A|=λ1λ2…λn=（-1）n-1（n-1）

4拆项法

拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的，使问题简化以利计算。

例6计算行列式Dn=a1+λ1a2…ana1a2+λ1an…………a1a2…an+λn

解：Dn=a1a2…ana1a2+λ2an…………a1a2…an+λn+λ1a2…ana1a2+λ2an…………a1a2…an+λn=a1a2…an0λ2an………00…λn+λ1Dn-1=a1λ2…λn+λ1Dn-1=……λ1λ2…λn1+■■。

5因式分解法

如果行列式D是某个变数x的多项式f（x），可对行列式施行某些变换，求出f（x）的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为g（x），则D=f（x）=cg（x），再比较f（x）与g（x）的某一项的系数，求出c值。

例7计算行列式Dn=123…n1x+13…n12x+3…n…………123…x+1。

解：x=1，Dn=0所以，x-1|Dn。

同理x-2，…，x-（n-1）均为Dn的因式，又因为x-i与x-j（i≠j）各不相同所以（x-1）（x-2）…（x-n+1）Dn，但Dn的展开式中最高次项xn-1的系数为1，故Dn=（x-1）（x-2）…（x-n+1）。

计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。

总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算.

参考文献

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3张贺等.用线性递推关系求行列式的值．河北北方学报（自然科学版），2007.6.15

4汤茂林.行列式在初等代数中的巧用.廊坊师范学院学报，2008.3