对几种特殊类型的行列式的解题方法

摘 要： 本文主要介绍几种常见的行列式的解题方法，即箭型行列式解题法，全加法、加边法、递推法等，并举例说明，使学生能更好地求解这类行列式。

关键词： 行列式 全加法 加边法 递推法

在各种高等代数书和线性代数书中都有很多计算行列式的方法，也有很多这方面的文章，本文主要就几种常见的类型的解题加以阐述，使学生更容易求解行列式的值。

用定义法求行列式的值，以及求三角型行列式的值非常容易，本文就不再阐述。下面主要介绍：箭型行列式的解法，全加法，加边法，递推法。

一、箭型行列式（三条线行列式）求解方法

除了第一行、第一列元素及主对角线元素非零外（或最后一行、最后一列和主对角线元非零外）其余位置全为零的行列式我们称之为箭型或爪型行列式，它的解题思路为：利用行列式性质把两条边中的一条边消掉，把此行列式化为上三角或者下三角，从而计算出行列式值。如下例：

例1.D=a b … bc a … 0… … …c 0 … a（a≠0，i=1，…，n）

解：这种行列式就是爪型行列式中的一种。我们把所有第i+1（i=1，…，n）列的-倍都加到第一列上来，得：

D=a b … bc a … 0… … …c 0 … a=a- b … b 0 a … 0 … … … 0 0 … a=（a-）a…a.

还有一些行列式可以转化为箭型行列式，如下例。

例2.D=a x … xx a … x… … … x x … a（a≠x，i=1，2，…，n）

解题思路：此题主对角线以外的元素相同，可以利用行列式性质化成箭型行列式，进而化成上三角或下三角得到行列式的值。

解：将第一行乘以（-1）倍加到其他各行上去得到，接着每一列分别提出a-x，i=1，…，n，然后将每一列加到第一列：

D= a x … xx-a a-x … 0 … … …x-a 0 … a-x=（x-a）…（x-a） … -1 1 … 0 … … … -1 0 … 1=（x-a）…（x-a） … 0 1 … 0 … … … 0 0 … 1=（x-a）…（x-a）［++…+］（a≠x，i=1，2，…，n）

二、所有行（列）对应元素相加后相等的行列式的求解方法（全加法）

这种行列式的特点是所有行（列）对应元素相加后相等的行列式。解题思路是将所有列（行）元素全都加到第一列（行），然后提取这一列（行）的公因子，进而求得行列式的值。

例3.求n阶行列式D= a b … b b a … b… … … b b … a的值。

解：D= a b … b b a … b… … … b b … ac+…+ca+（n-1）b b … ba+（n-1）b a … b … … …a+（n-1）b b … a

c÷［a+（n-1）b］［a+（n-1）b］ 1 b … b 1 a … b… … … 1 b … ar-r（i=2，…，n） ［a+（n-1）b］ 1 b … b 0 a-b … 0… … … 0 0 … a-b=［a+（n-1）b］（a-b）（此题也可转化成箭型行列式再计算）

三、加边法（升阶法）解行列式

加边法就是在原来行列式的基础上填上一行一列，要保持行列式值不变。加边（升阶）的目的是将行列式化简达到降阶的目的，从而计算出行列式的值。

例5.计算n行列式D=a+b a … a a a+b …

解：这个行列式可以直接化为箭型行列式来计算。为了介绍加边法，我们采用加边法计算此题。

现在已经化为了箭型行列式，然后按照箭型行列式的计算方法计算即可。

计算得D=D=（b…b）（1+）。

四、递推法解行列式

此法的要点是利用已给行列式D的特点，建立起同类型的n阶行列式和n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系式，这个关系式叫递推关系式，进而求出行列式的值。

整理上式得到：

联立（2）（3）两式，解得D=5-4。

本题是降阶即按列展开和递推公式同时使用，很多题都是多种方法结合使用的，同学们要注意这一点。

很多行列式的解题方法都可以用到上面的几种方法，或者几种方法结合使用，或者通过化简得到上述行列式的形式，从而解得行列式。

参考文献：

［1］钱芳华.高等代数方法选讲［M］.广西:广西师范大学出版社，1991.

［2］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数［M］.北京:高等教育出版社，1987.

［3］代冬岩.n阶行列式的计算方法和技巧［［J］.哈尔滨职业技术学院学报，2008，（1）：119-120.

［4］杨子胥.高等代数习题解［M］.山东:山东科技大学出版社，1982.

［5］李大卫等.线性代数释疑解难［M］.长春：东北大学出版社，2002.