试析行列式的计算的六种方法

内容摘要：本文主要归纳了计算行列式的六种方法：递归法、利用范德蒙行列式进行计算、三对角行列式的计算、利用“加边法”（或称“升阶法”）计算行列式、利用拉普拉斯定理进行计算、利用数学归纳法进行计算，最后通过一题多解对比了计算行列式的几种方法。

关健词：行列式；范德蒙行列式；数学归纳法；一题多解

【中图分类号】G633.62

一、引 言

行列式的计算一直是线性代数研究的重要内容，低阶或特殊行列式的计算相对简单，如上下三角行列式（三角形行列式的值等于主对角线上所有元素的乘积）；理论上任何一个行列式都可以按定义计算，但当行列式的阶数较大时，它的计算量非常大，计算十分复杂，技巧性很强因此，研究行列式的计算方法是十分有必要的。

二、计算行列式的方法

（一）递归法

所谓递归法，是指把有待解决的问题归结到一类与原问题性质相同的、规模更小的问题中去，最终求得原问题的解答。

行列式是典型的递归结构，它可以作如下递归定义：设 阶行列式

Ｄ＝ ，

⑴当 时， ；

⑵当 时，

其中， 是元素 的代数余子式， 。

因此，高阶行列式的计算总可以归结为求其低阶子式的计算，也就是说用递归法计算行列式具有一般的方法论意义。用递归法解题的一般步骤是：

⑴寻找递归关系式；

⑵根据递归关系式，求所需的递归边界条件；

⑶求解递推关系，或论证递推关系的性质。

下面通过实例进行说明。

例１计算 阶行列式

.

解：当 时，行列式的值等于 ；下面计算 时的情形：

构造数列

,

则

， ，

即

， ，

这说明数列 是一个公差为 的等到差数列，从而

， ，

故

， .

（二） 利用范德蒙行列式进行计算

我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法。

形如行列式D= 称为 阶的范德蒙行列式。

我们来证明，对任意的( ), 阶范德蒙行列式等于 这 个数的所有可能的差 （1≤j

我们对 作归纳法：

当 时， = ，结果是对的;假设对 阶的范德蒙行列式结论成立，

现在来看 阶的情况:

在D= 中，第 行减去第 行的 倍，第 行减去第 行的 倍，也就是由上而下依次地从每一行减去它上一行的 倍。有

D=

=

=,

后面这个行列式是一个 阶范德蒙行列式，根据归纳总结假设，它等于所有可能的差 （ ）的乘积；而包含 的差全在前面出现了。因此，结论对于 阶范德蒙行列式也成立。根据数学归纳法完成了证明：

= ,

由这个结果立即得出：范德蒙行列式为零的充要条件是 这 个数中至少有两个相等。

例2 计算行列式 ，其中

=

分析：该行列式与范德蒙行列式很相似，可以先利用行列式的性质把它变为范德蒙行列式再进行计算。通过相邻两行的变换，先把最后一行交换到第一行（交换 次），如此继续下去，经过 次交换后，原行列式变为范德蒙行列式。

解：由范德蒙行列式的性质得

=

=

= .

（三） 三对角行列式的计算

形如 的 阶行列式称为三对角行列式。

我们先来证明 满足

其中

。

证明：令 为一元二次方程的两个根并将 按第一列展开，可得 ,

即

,

同理可得

,

特别当 时， ，由上面两式可以解得

,

当 时， ，于是

=

= .

证毕.

例2 计算行列式 ，其中

= .

解：运用公式 有

= = =81-80=1 0,

所以

= =

= .

（四） 利用“加边法”（或称“升阶法”）计算行列式

所谓“加边法”，就是将原行列式增加一行一列。它的实质是升阶，目的是便于利用行列式的性质和定理，对行列式进行化简运算。在实际问题中，恰当地应用“加边法”对行列式的计算将会起到事半功倍的效果，下面通过具体实例来加以说明。

例4 计算 阶行列式

.

解 分析：此行列式与范德蒙行列式极为相似，因而我们设法增加一行一列，即进行“加边”。然后按计算范德蒙行列式的方法实施计算。

,

从最后一行开始，每行减去它的相邻的前一行乘 得

,

将 按第一列展开，然后从 阶行列式的每一行提取公因子得

,

按以上方法继续进行下去 得

= .

（五）、 利用拉普拉斯定理进行计算

拉普拉斯定理是行列式按行或列展开定理的推广。在应用拉普拉斯定理时，为了计算上的方便，一般先利用行列式的性质对原行列式进行变形，再按含多个零的 行或 列展开。

例5 计算行列式 ，其中

.

分析：如果从第3行开始每一行都减去第2行，再从第3列开始每一列都加到第三世界国家列，可使行列式中更多的元素为零。

解：先按上述分析对行列式进行变换，

=

= ,

再由拉普拉斯定理可得

= .

（六）、 利用数学归纳法进行计算

数学归纳法多用于证明题。用数学归纳法计算 阶行列式，需要对同结构的低阶行列式进行计算，从中发现规律并得出一般性结论，然后再用归纳法征明其正确性。

例6计算行列式 ，其中

.

解：当 时， ；当 时， ；

当 时，

,

假设当 时，

,

那么当 时，将 按最后一行展开可

.

所以

=

= ,

综上可得

.

三、 从一题多解谈行列式的计算方法

行列式的计算灵活多样，选择合适的方法计算行列式,会使得其计算过程更加简化下面以一道题目为例介绍行列式的几种解法，希望能对读者有所启发。

例 计算 阶行列式

.

解法1（加边法）：

=

= =

=

= .

解法2（递推法）：

=

= +

=

=

=

=

=

解法3（三角形法）：将各列都加到第一列，并提取公因式，得：

,

第一列乘以 分别加到各列上，得：

= .

综上所述，像这种比较容易化成三角形的行列式运用三角形法来解比较容易。

小 结

本文首先介绍了几种解行列式的方法：递归法、利用范德蒙行列式进行计算、三对角行列式的计算、用“加边法”计算行列式、利用拉普拉斯定理进行计算、利用数学归纳法进行计算、定义法、三角形法，并举例说明各种方法的用法。最后以一题多解的形式对比了几种方法的应用。

参考文献

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