行列式的解题技巧及应用

【摘要】 行列式是高等代数里基本而重要的内容之一，是讨论线性方程组理论的有力工具，在求逆矩阵、求矩阵的秩、判断向量组的线性相关性等很多方面都有应用，懂得如何计算行列式就显得尤为重要.本文阐述行列式的基本性质，然后介绍一些具体的解题技巧及行列式的简单应用.

【关键词】行列式性质解法技巧应用

1 引言

行列式起源于1757年，是马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而建立的，本文主要探讨行列式的解题方法以及它的简单应用.而行列式的解题方法并不是唯一的，本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，给出了计算行列式的常用方法，同时介绍了行列式的几个简单应用.

2 行列式的定义和性质

2.1 行列式的定义

定义 n级行列式用符号

表示，它代表n！项的代数和，这些项是一切可能的取自D中不同行不同列的n个元素的乘积 a1j1a2j2…anjn，项a1j1a2j2…anjn的符号为（-1）r（j1j2…jn），即当r（j1j2…jn为偶（奇）排列时该项的符号为正（负）.

2.2 行列式的性质

性质1 行与列互换，行列式的值不变.

性质2 某行（列）的公因子可以提到行列式符号外.

性质3 如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）的元素与原行列式相同.

性质4 两行（列）对应元素相同，行列式的值为零.

性质5 两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零.

性质6 某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变.

性质7 交换两行（列）的位置，行列式的值变号.

3 行列式的解法

3.1 定义法

对于含零元素较多的行列式，可以直接利用n阶行列式的定义来计算.

3.2 化三角形法

化三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积），求出值.

3.3 按行或列展开法（降阶法）

这种方法又叫降阶法，主要思想是将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式的和，若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算.为了减少计算量，我们往往选择零元素较多的行或列展开，一般情况是利用行列式的性质先将选择的行或列化为只有一个非零元素.

3.4 加边法（升阶法）

加边法又叫升阶法，主要思路是将一个n阶行列式升级为n+1阶行列式，即在原来的行列式上添加一行与一列使其升阶，从而构造一个容易计算的新的行列式，进而求出原来的行列式的值.当然，这个加边过程要求行列式的值不变，而且新的行列式要比原来的行列式好计算.一般，利用升阶法计算的行列式都具有一个明显的特征：除对角线元素外，其余元素都相同.

3.5利用范德蒙行列式计算

范德蒙行列式是一类特殊的行列式，利用范德蒙行列式公式计算某些行列式时，要求行列式必须具有范德蒙行列式的特点，或类似于范德蒙行列式的特点，这样也可以将所给的行列式化为范德蒙行列式，然后再利用公式计算出结果.

3.6递推法

递推法是应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式.根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法我们称之为递推法.

3.7 析因法

如果行列式D中有一些元素是变数x（或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D当作一个多项式f（x），然后对行列式施行某些变换，求出f（x）的互素的一次因式，使得f（x）与这些因式的乘积g（x）只相差一个常数因子C，根据多项式相等的定义，比较f（x）与g（x）的某一项的系数，求出C值，便可求得D=Cg（x）.那在什么情况下才能用呢？要看行列式中的两行（其中含变数x），若x等于某一数a时，使得两行相同，根据行列式的性质，可使得D=0.那么x -a便是一个一次因式，再找其他的互异数使得D=0，即得到与D阶数相同的互素一次因式，那么便可用此法.

3.8 数学归纳法

数学归纳法也是计算n级行列式的主要方法之一，特别是用来证明n阶行列式的值，一般情况下当与是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之，这里主要是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值再用数学归纳法给出猜想的证明

4 行列式的简单应用

4.1 行列式在解线性方程组中的应用

（1）如果线性方程组的系数矩阵的行列式d=|A|≠0那么线性方程组有解，并且解是唯一的。

（2）含n个方程n个位置量的齐次线性方程组如果有非零解，则其系数矩阵的行列式必等于零.

5 结语

本文归纳总结了行列式的八种解题技巧，以及它在高等代数方面的简单应用， 在高等代数中，行列式作为其中重要的部分，发挥着巨大的作用，也是各个年级数学知识的重要内容，同时在现实生活中也能解决一些难度较大的问题，方便且实用通过系统的分析，循序渐进，便于掌握和灵活运用行列式的有关知识。

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