行列式计算方法探讨

摘 要本文通过举例说明，着重探讨行列式的计算方法与技巧。

关键词行列式 范德蒙 拉普拉斯 降价

在高等代数中，行列式计算方法是极为基础的一部分，占有非常重要的地位。行列式计算方法多变，技巧繁多，根据不同行列式不同性质，其计算方法也不尽相同。在计算过程中，变换方法，采用技巧，简便计算，是尤为重要的。为了下文讨论的需要，引进两个性质：

性质1 如果行列式两行（列）相同，那么行列式为零。

性质2 如果行列式两行（列）成比例，那么行列式为零。

接下来，让我们共同探讨行列式的18种计算方法。

1 定义法 此法是最基本的方法，但也是最麻烦的。因为对一般的行列式而言，需要！ n次乘法。只有在行列失重的零元素较多时，或次数较小时，才适用此法。

2 目标行列式法 把与计算的行列式利用性质朝目标行列式――化为上（下）三角形、范德蒙行列式，从而得解。

（1）三角形法 就是把原行列式变换为上（下）三角形行列式或对角形行列式来计算的一种方法。此法源于高斯消元法，优越性在于机械规范，便于记忆，也便于计算机计算，也称机械计算法。

（2）范德蒙法 把原行列式转化为范德蒙行列式的计算方法称为范德蒙法。利用范德蒙行列式的结论计算并不复杂，难点是如何将给定的行列式转化为范德蒙行列式的标准形式，这具有较高的技巧。

3 拉普拉斯法 此法计算一般的行列式并不方便，但若行列式中0元素较多时，则较方便。

4 分裂法 有时也称拆项法、拆和法，是一种常用方法。一般当行列式的一行（列）表现为规律性的两项之和，而每个加数作为一行（列）又容易计算得到的行列，可考虑此法。

5 归纳法 用于证明行列式等于已知值。

6 递推法 通常与归纳法通用。

（1）直接递推法；

（2）间接递推法。

7 利用特征多项式、特征值 对某些行列式而言，利用特征多项式、特征值求解是非常方便的。若用普通法很难求。

8 归一法 若行列式各行（列）加到一起是一常数，就把这个常数放在第一列（行），称这种方法为归一法。

9 比例法

10 析因子法 如果行列式有一些元素是变量x（或参变量）的多项式，则可以将行列式看作一个多项式f（x），然后，直接对行列式施行某些变换，结合因式定理，求出f（x）的互素的一次因式，使得f（x）与这些一次因式的乘积g（x）值相差一个常数因子k。再根据多项式的恒等定义，比较f（x）与g（x）的某一项系数，求出待定系数k的值，从而获解。对于含n个变量的行列式也可用类似方法。

11 降价法

（1）使行列式化为一行（列）中除一个元素外，全为0的行列式，然后，按此行（列）展开，这是最基本的计算行列式方法，也称造零法。

（2）第一降阶定理

（3）第二降阶定理

（4）第三降阶定理

12 升阶法 与降阶法对应的就是升阶法，也称为加边法、镶边法。在计算行列式时，降阶固然也可以降低计算难度，但根据需要反其道而行之，有时亦会产生令人振奋的效果。为此，我们有时也会给原行列式增加一行一列，使得原行列式升高一阶，通过计算新的行列式，而使原行列式得到解决。这种方法称为升阶法。

13 乘积法 此法利用行列式的乘法，把行列式分解为两个行列式之积，然后分别加以计算。

14 待定系数法