浅谈数学分析中的一道计算题

摘要：本文笔者针对数学分析学习指导书的一道习题，给出了不同的解法，并以此说明做习题过程中体会总结并与所学知识和已有的结论联系尤为重要。

关键词：数学分析 第一类曲面积分

数学分析是大学数学专业的一门重要基础课程，其特点是抽象严谨，解题方法又灵活多变。因此，教师如何在教学中引导学生在做题的过程中运用本课中常用的方法，并联系所学知识，自觉地体会总结，就显得尤为重要。

一、预备知识

1. 定义：设S是空间可求面积的曲面，函数f（x，y，z） 定义在S上。给S任一分法T，将其分成n 份，记小曲面的面积分别为：S1，S2，…，Si，…，Sn，任取一点（？孜i，？浊i，？灼i）∈Si，作和式■f（？孜i，？浊i，？灼i）Si。记||T||=■{di}（di为Si的直径），若极限■■f（？孜i，？浊i，？灼i）Si存在且与分法T 和取法（？孜i，？浊i，？灼i）均无关，则称此极限为f（x，y，z） 在曲线S上的第一类曲面积分，记作：

■f（x，y，z）ds=■■f（？孜i，？浊i，？灼i）Si。

2. 引理1：若曲面S可用函数z=z（x，y）表示，且具有连续偏导数，f（x，y，z） 在S连续，Dxy为S在xoy面上的投影区域，则：

■f（x，y，z）ds=■f（x，y，z（x，y））■dxdy

3. 引理2：若光滑曲面S：x=x（u，v）y=y（u，v）z=z（u，v），（u，v）∈D，则■f（x，y，z）ds=■f（x（u，v），y（u，v），z（u，v））■dudv，

其中，E=x2u+y2u+z2u，G=x2v+y2v+z2v，F=xuxv+yuyv+zuzv

二、主要内容

数学分析学习指导书中有这样一道题：

计算曲面积分■（x2，y2）ds，其中S是球面x2+y2+z2=a2。

解法一： 设S1：z=■，x2+y2≤a2；

S2：z=-■，x2+y2≤a2。

由第一类曲面积分公式有

■（y2+z2）ds=■（y2+z2）ds+■（y2+z2）ds

≤2■■dxdy

令x=rcos？兹y=rsin？兹则0≤r≤a0≤？兹≤2？仔， 因此，

■■dxdy=■rdr■■d？兹=■rdr■■d？兹

=■■（■+■）dr2=■[-■（a2-r2）■-2a2（a2-r2）■]■■

=■·■a3=■？仔a4

所以，■（y2+z2）ds=■？仔a4

解法二： 设S的参数方程为x=asin？渍cos？兹y=asin？渍sin？兹x=acos？渍，则D：0≤？渍≤？仔，0≤？兹≤2？仔且

E=x2？渍+y2？渍+z2？渍=a2cos2？渍cos2？兹+a2cos2？渍sin2？兹+a2sin2？渍=a2，

G=x2？兹+y2？兹+z2？兹=a2sin2？渍sin2？兹+a2sin2？渍cos2？兹+a2sin2？渍，

F=x？渍x？兹+y？渍y？兹+z？渍z？兹=-a2sin？渍cos？渍sin？兹cos？兹+a2sin？渍cos？渍sin？兹cos？兹=0

所以，

■（y2+z2）ds=■（a2sin2？渍sin2？兹+a2cos2？渍）■d？渍d？兹

=■d？兹■a4（sin2？渍sin2？兹+cos2？渍）sin？渍d？渍

=2a4■■d？兹=■？仔a4.

解法三：

因为球面S关于分别平面x=y，平面x=z，平面y=z对称，

所以，■x2ds=■y2ds=■z2ds。

进一步，有

■（y2+z2）ds=■■（x2+y2+z2）ds=■a2■ds

=■a2·4？仔a2=■？仔a4

做完题目后， 学生可能会觉得第一、二种解法没有第三种方法简单。但是，我们利用第一、二种解法的主要目的是让学生熟悉公式，了解到常规方法的重要性，第三种方法是在掌握第一、二种方法的基础上，让学生学会观察、分析，根据所给问题的特征解决问题。总之，数学分析由于抽象，因此需要学生多做练习， 并且要考虑它的不同解法，由此对所学内容加深理解。在教学实践中，教师可以帮助学生前后联系、经常总结，学生就会对这门课感兴趣，非常愿意去学习并能学好它。

参考文献：

[1] 陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中.复旦大学数学系. 数学分析[M].高等教育出版社， 2003.

[2] 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏.数学分析学习指导书[M]. 高等教育出版社，2004.

（责编 高伟）