师范生数学证明素养的调查研究

摘要数学证明是中学数学课程改革关注的焦点，也是数学教育研究的热点。通过调查显示，我国高师院校师范生对“ 数学证明” 的概念基本上是清晰的，这与他们接受过正规的数学专业本科教育知识有一定的关系，但是他们在“ 数学证明” 上的基本功还是不扎实的。这就要求数学师范生在证明水平上还有待于更进一步的提高。

关键词数学 师范生 证明素养

中图分类号：G650 文献标识码：A

Normal Mathematical Proof Literacy Research

MA Zengying

(Mathematics Science School, Harbin Normal University, Harbin, Heilongjiang 150080)

AbstractThe mathematical proof is the secondary focus of mathematics curriculum reform, which is a hot research of mathematics education. Through the survey shows that China Normal College students on "mathematical proof" concept is basically clear. There is a certain relationship that they had a proper knowledge of undergraduate education in mathematics; but they are not solid in the "mathematical proof" on the basic skills. This requires that future mathematics teachers has yet to be further improved at the proof level.

Key wordsmathematics; normal; proof literacy

0 引言

数学证明最早起源于希腊，就其本质而言，它与几何是两个不同类别的学习对象，证明是不局限于几何的，代数或其他领域也同样存在证明。但应该承认，证明的最初起源是几何，证明教学与学习的主要载体也是几何，所以古今中外许多数学家一直将证明称为“几何论证”。①什么是数学证明？目前多数人接受的说法是：数学证明就是以一些基本概念、基本公理为基础，运用逻辑规则和方法推导数学命题的方法和过程。②《普通高中数学标准（实验）》③内容的有关说明中，提到证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，但是数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规律得出结论。《美国学校数学教育的原则和标准》④指出：“数学教学纲要应当集中精力学会将推理和证明作为理解数学的一部分。”

综上可知，数学证明素养是学生数学能力的重要组成部分，对师范学生而言，数学证明素养是教师专业知识的重要部分，关系其将来从事数学教学的能力和水平。本文着重调查师范院校学生的数学证明素养的情况，具体包括以下两个方面：一是师范生对数学证明的认识；二是师范生本身的数学证明水平。

1 调查对象

本文的研究数据来自我们最近所做的一次调查。调查的对象是哈尔滨师范大学数学与应用数学专业、哈尔滨学院数学与计算机学07、08级的大学本科师范生，总计165 人。

2 结果与分析

2.1 数学师范生对数学证明的认识

近年来各国对传统的几何教材已经进行大胆的改革。我国的新课程改革明确提出了“着眼于培养学生终身学习的愿望和能力”。这对教师提出了要研究证明教学的需要，要了解目前学生学习证明的情况，从而改进教学，达到新课程中对证明的要求。

问题：“代数证明”与“几何证明”哪个难度更大？为什么？困难在哪里？

对于这个问题，师范生认为，“代数证明”和“几何证明”各有难处。 其中，“代数证明”的难点包括：“书写比较困难，常搞不清条件和结论”，“比较抽象”，“变化多端”等；而“几何证明”的难点则有：“依赖于图形”，“需要较高的空间想象能力”等。 在总计165名数学师范生中，认为“代数推理”更难的占25.3%，认为“几何推理”更难的有60.2%，还有一些师范生（14.5%）认为两者的难点是不同的，会因人而异、因题而异，无法比较。⑤可见，数学师范生们对“数学证明”难度的认识是有差异的。

但是当师范生回答几何和代数证明哪种比较困难时，我们从数据上还是看到有半数以上的数学师范生认为几何证明更加困难，原因在于几何需要更多的图形和辅助线，而且思维上的跳跃比较大。但在“遇到无从下手的数学证明，而又不选择放弃的情况下”，多数数学师范生还是会“多方面、用多种可能的方法试试”的，这是值得提倡的。

根据上面的调查，我们可以充分地认为，我国数学师范生对“数学证明”的概念基本上是清晰的。他们对“数学证明”的理解是有一定水平的。

2.2 数学师范生本身的数学证明能力

Healy和Hoyles(2000)对学生数学证明进行了综合的研究，⑥做了大型的调查研究，以探究学生证明的信念和学生构造证明的能力。国外的研究主要集中在两个方面:对证明的理解和构造证明的能力。在研究中，发现大多数学生的证明能力薄弱，很难形成有效的证明。

那么，我国数学师范生的情况如何呢？在调查中，我们在不限时的条件下要求学生完成下面的测试题：请用尽可能多的方法证明：“已知：ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC。

测试结果

除了上面的证明方法，有的师范生还利用直角坐标系、正弦定理、向量、三角形的面积公式、外接圆等去证明。从书写的情况看，数学师范生们对证明过程的表述不是特别的规范，并且有些数学师范生给出了错误的证法，如“过A作BC 边上的中线AD，证明：ABD≌ACD” ，“ 过A 作BC 边上的高AD，推出BD=DC” 等。

3 初步结论

从上述两个方面的调查可以初步看到：（1）我国数学师范生在“数学证明”上的认识和理解还是有一定水平的。可以说，这不仅与他们接受过正规的数学专业本科教育有关，而且也与他们长时期接触有关几何论证方面的知识有一定的联系。（2）我国数学师范生的证明水平相比之下就显得比较薄弱，这说明数学师范生在证明水平上还有待于更进一步的提高。这就要求在教学过程中应该考虑师范生的思维发展水平，应当集中精力学会将证明作为高师师范生理解数学的一部分 。

注释

①李文林.文明之光―图说数学史[M].济南:山东教育出版社,2005.4.

②Tall D. (2002) Differing Modes of Proof and Belief in Mathematics, International Conference on Mathematics: Understanding Proving and Proving to Understand, 91-107。 National Taiwan Normal University, Taipei, Taiwan.

③中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京:人民教育出版社,2003.

④National Council of Teachers of Mathematics Principles and standards for school mathematics [M]. Reston, VA: Author, 2000.

⑤周超,鲍建生.对中学数学教师证明素养的一次调查[J].数学教育学报,2009(6) .

⑥Lulu Healy, Celia Hoyles A study of conceptions in algebra ,Journal for Research in Mathematics Education,2000(31):396-428.