浅析含参一元二次不等式的解法

分类谈论是高中数学非常重要的一种方法.

而解含参的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a∈R)，必须对参数进行分类讨论，讨论时要保证参数的取值不重不漏.为达此目的，可把讨论对象逐级讨论，逐步解决.

可分为三级

第一级级讨论：二次项系数a，一般分为a＞0,a=0,a＜0进行讨论；

第二级讨论：方程根的判别式，一般分为＞0,=0,＜0进行讨论；

第三级讨论：对应方程两根大小.若x1,x2是方程x2＋bx＋c=0的两根，一般分为x1＞x2,x1=x2,x1＜x2进行讨论.

若某级已确定，可直接进入下一级讨论.

例1 解关于x的不等式：a2x2-ax-2＞0(其中实数a为常数)

分析：二次项系数含参数，从二次项系数开始讨论.

解：（1） 当a=0时，原不等式化为-2>0,显然不成立，因此不等式的解集为；

（2） 当a≠0时，a2＞0，由a2x2-ax-2=(ax+1)(ax-2)

得方程a2x2-ax-2=0的两根为：x1=2a,x2=-1a.

所以，当a>0时，原不等式的解集为xx＜-1a或x＞2a；

当a＜0时，原不等式的解集为xx＜2a或x＞-1a；

综上可知，当a=0时，原不等式的解集为；

当a>0时，原不等式的解集为xx＜-1a或x＞2a；

当a＜0时，原不等式的解集为xx＜2a或x＞-1a；

例2 解关于的不等式：x2＋ax＋4＞0(a∈R).

分析：二次项系数不含参数，可直接从入手.

解：=a2－16.

(1) 当＞0，即a＞4或a＜－4时，方程x2＋x＋4=0两根分别为-a-a2-162、-a+a2-162,且-a-a2-162＜-a+a2-162,不等式解集为x|x＜-a-a2-162，或x＞-a+a2-162；

() 当=0，即a=±4时，不等式为（x±2）2＞0,不等式解集为x∈R|x≠－a2；

() 当＜0，即－4＜a＜4时，不等式解集为R.

综上知，当a＜－4或a＞4时，原不等式解集为x|x＜-a-a2-162或x＞-a+a2-162；当a=±4时，原不等式解集为x∈R|x≠－a2；当－4＜a＜4时，原不等式解集为R.

例3 解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R).

分析：原不等式可化为（ax－1）(x－1)＜0,可知对应方程的两根必存在，只需对二次项系数a和对应方程两根大小进行讨论.

解：原不等式等价于（ax－1）(x－1)＜0.

（Ⅰ） 当a=0时，不等式为－x＋1＜0，解集为{x|x＞1}；

（Ⅱ） 当a＞0时，方程（ax－1）(x－1)=0的两根为1a、1.

() 当0＜1a＜1,即a＞1时，解集为x|1a＜x＜1；

() 当1a=1，即a=1时，解集为；

() 当1a＞1，即0＜a＜1时，解集为x|1＜x＜1a.

(Ⅲ) 当a＜0时，不等式为(－ax＋1)(x－1)＞0，解集为x|x＞1,或x＜1a.

综上：当a＜0时，原不等式解集为x|x＞1,或x＜1a；

当a=0时，原不等式解集为{x|x＞1}；

当0＜a＜1时，原不等式解集为x|1＜x＜1a；

当a=1时，原不等式解集为；当＞1时，原不等式解集为x|1a＜x＜1.

(上接第63页)

4. （2009重庆卷理）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)，若双曲线上存在一点P使sinPF1F2sinPF2F1=ac，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．

变式：把条件改为点P在双曲线左支上，P到左准线的距离记作d,若d,PF1,PF2成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．

链接练习参考答案

1. 1

2. B

3. A

4. e∈(1,2+1) 变式：e∈(1,2+1］