时间：2022-07-09 04:08:55
巧用向量求空间的角（线线角、线面角、面面角），我们最终都是转化为向量的夹角来计算的.
在苏教版必修教材中，我们可以借助向量求角，在选修21中，当然我们也可以巧用向量求空间的角（线线角、线面角、面面角），我们最终都是转化为向量的夹角来计算的.因为向量具有数和形的双重特点，利用向量解题，可以进一步拓宽同学们的思维.而在空间问题中，引入空间向量，则可以将位置关系转化为数量关系，将逻辑推理转换为数量计算，从而降低问题的难度，所以对于这种方法我们有必要进行细致研究，这样使学生的思路简捷，运算直接，能迅速准确地解决问题.下面我们就探讨如何精确地运用向量的夹角来求解空间的角.
一、 求空间两条直线所成的角
如上图所示，有如下两种情形：第①情况：线线角等于向量的夹角；
第②情况：线线角与向量的夹角互补.
结论1：记〈l1,l2〉为向量的夹角，θ为空间两条直线所成的角，
当cos〈l1,l2〉＞时,θ＝〈l1,l2〉;当cos〈l1,l2〉＝0时,θ＝90°;
当cos〈l1,l2〉＜0时,θ＝180°-〈l1,l2〉.
例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E1，F1分别在A1B1C1D1上，
且E1B1=14A1B1，D1F1=14C1D1,求BE1与DF1所成的角的大小.
分析：如右图所示，采用坐标法，建立空间直角坐标系Dxyz，设棱
长，易求得B,E1,D,F1的坐标，从而得到BE1,DF1的坐标，利用向量求出夹角，再转化为两直线的夹角，根据结论1，不难求出两直线的夹角.
第③求直线与平面所成的角
如右图所示有两种情况：
第①种情况：线面角与向量夹角互余；
第②种情况：线面角等于向量夹角减去直角.
于是得到结论2：记θ为直线与平面所成的角，〈l,n〉为直线的方向向量与平面的法向量所成的角
当cos〈l,n〉＞0时,θ＝90°-〈l,n〉;当cos〈l,n〉＝0时,θ＝0°;
当cos〈l,n〉＜0时,θ＝〈l,n〉－90°.
例2 在正方体ABCDA1B1C1D1中,F是BC中点，点E1在D1C1上，且
D1E1=14D1C1，试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小.
分析：仿例1可求出DB1,E1F的坐标，可以证明DB1平面D1AC，即DB1为
面D1AC的法向量，从而求得cos〈DB1,E1F〉=8787，这样可求出两向量的夹角，根据结论2，很容易求出直线E1F与平面D1AC所成角的大小.
二、 求两个平面所成的角
如右图所示，有四种情况：
第①种情况：二面角等于向量的夹角；
第②种情况：二面角与向量的夹角互补；
第③种情况：二面角与向量的夹角互补；
第④种情况：二面角等于向量的夹角.
记两个平面所成的角为θ，两个平面的法向量所成的角为〈n1,n2〉根据上面的分析可发现：
当cos〈n1,n2〉>0时，θ=〈n1,n2〉或θ=180°-〈n1,n2〉；
当cos〈n1,n2〉
也就是说根据cos〈n1,n2〉的符号，出现的θ不惟一，不能判断出θ的大小，这就是苏教版选修21中所说的“根据图形可知”的这种说法产生的原因，但在实际解题中，由于作图的精确性导致了根据图形根本不能看出两个平面所成的角究竟为锐角，还是钝角，因此，我们必须寻求一种更精确化、定量化的方法来求解两个平面所成的角，下面我们采用两种途径来解决这个问题.
途径一：运用投影的方法
结论3：在二面角αlβ的半平面α内任取一点P
，过P作PP′β，垂足为P′，当P′落在半平面β
内时，二面角αlβ是锐角；当P′落在棱l上时，
二面角αlβ是直角；当P′落在班平面β外时，二面角αlβ是钝角.
例3 在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角A1BDC1的大小.
分析：设正方体的棱长为1，易求得平面A1BD和平面BDC1的法向量
n1=（―1，1，1），n2=（1，-1,1），从而得到cos〈n1,n2〉=-13，这
样可以求出两个向量的夹角.
下面将向量的夹角转化为二面角，采用上述投影的方法：
连结A1C，交平面BDC1于H，易用坐标法证明A1C平面BDC1，即
H为在平面BDC1上的射影，又在平面BDC1内，根据结论3可知，从而求出本题的结果.
点评：这种方法虽然较直观，但是有一定的局限性，并不是所有的投影位置都能准确地找出来，因此，我们还得寻求一种更普遍的方法.
途径二：运用线性规划的方法
结论4:在二面角αlβ的半平面α内任取一点P，过P作
PP′β，垂足为P′，再在β内任取一点Q，当P′与Q相对于半平
面的符号相同时，二面角αlβ是锐角；
当P′与Q相对于半平面的符号相反时，二面角αlβ是钝角.
例4 在正方体ABCDA1B1C1D1A中，求二面角A1BDC1的大小.
分析：设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系Dxyz，得到A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，D(0,0,0)，过A1作A1H平面BDC1垂足为H，第一步：求点H的坐标设H（x0,y0,z0），
利用待定系数法易求得平面BDC1的一个法向量n=（1，-1,1），又A1H平面BDC1，
所以A1H∥n，则λ，使得A1H=λn.
x0=λ+1，y0=-λ，z0=λ+1，则H（λ+1，-λ，λ+1）
下面求出平面BDC1的方程，设平面BDC1上任一点的坐标M（x,y,z）,
则DMn,即DM•n=0，即(x,y,z)•(1,-1,1)=0.从而得到面BDC1的方程为x-y+z=0
.又H∈平面BDC1，代入求解，λ+1-（-λ）+λ+1＝，H13,23,13
同样可利用待定系数法求出平面A1BD的方程为x-y-z=0.
第二步：判别C1，H相对于平面A1BD的符号.将C1、H两点坐标代入x-y-z中，判断它们的符号相同，根据结论4，二面角为锐角，结合例3可得本题二面角的大小.
点评：此法更具有适用性，无须确定点的射影的具置，避免了繁琐的作图过程.
虽然用空间向量处理立体几何角度问题有时是比较方便，但也有其自身的局限性（选系问题），教学中可适当穿插传统方法和向量方法处理立体几何的问题，这样更有利于开阔学生的视野，提高教学质量.总之，对于空间的角的计算，本着转化与化归的思想，创造性地解决问题，只有这样，才能活学活用.
【参考文献】
［1］孙翔峰 光明日报出版社 三维设计 2011、4
［2］毛文风 北方妇女儿童出版社 高效全能学习方案 2009、8