排列组合的几种常见题型及解法

排列组合应用问题，题型繁多，解法独特，但经仔细分析研究，还是有一定规律可循,它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。

一、特殊位置法

例17个人站成一排，如果甲不站在中间，有多少种排法？据题目要求，中间是特殊位置，先安排它，有Ａ■■种排法；再安排其余的6个位置，有Ａ■■种排法，由分步计数原理得Ａ■■・Ａ■■=4320种。

二、特殊元素法

例２甲是特殊元素，先安排甲，有种Ａ■■站法，再安排其余的6个人，有Ａ■■种站法，由分步计数原理得Ａ■■・Ａ■■=4320种。

三、捆绑法

例３8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？

解：把甲、乙、丙先排好，有Ａ■■种排法，把三个人“捆绑”在一起看成是一个，与其余5个人相当于6个人排成一排，有Ａ■■种排法，所以一共有Ａ■■・Ａ■■=1440种排法。

四、插空法

例４排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？

解：先排5个不是小品的节目，有Ａ■■种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有6个空隙，将3个小品插入进去，有Ａ■■种排法，所以一共有Ａ■■・Ａ■■=7200种排法。

注：捆绑法与插空法一般适用于有如上述限制条件的排列问题。

五、定序问题用除法

对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行全排列有Ａ■■种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有■种排列方法。

例５由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？

解：不考虑限制条件，组成的六位数有Ａ■■种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：■（个）。

六、排列、组合综合问题用先选后排的策略

处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。

例６将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？

解：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），分成三组之后在排列共有：6（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有Ａ■■种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：36（种）。因此共有36种方案。

七、复杂问题用排除法

对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。

例７四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（）

A.150种B.147种C.144种D.141种

解：从10个点中任取4个点有Ｃ■■种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有４Ｃ■■种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：141（种）。

八、插隔板法

例８12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？

将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若记“|”为隔板，则如图00|0000|0000|00，隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有Ｃ■■=165种。

配合练习：

1.用0,1,2,3,4,5,可以组成没有重复数字的四位偶数____个。

2.四男三女排成一排，（1）三个女的要相邻，有____种排法；

（2）女同学必须按从高到矮的顺序(可不相邻)有____种。

3.8人排成一排，其中甲、乙两人不排在一起，有____种排法。

4.平面内有8个点,其中有4个点共线,另外还有三点共线,此外再无三点共线。

则（1）过这8个点中的任何两点可组成____条直线。（2）由这8 个点可以组成____个不同的三角形。

5.从甲、乙，......，等6人中选出4名代表，那么

（1）甲一定当选，共有____种选法。

（2）甲一定不入选，共有____种选法。

（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有____种选法。

配合练习解答：

1.156个2.（1）720；（2）8403.Ａ■■- Ａ■■・Ａ■■=30240

4.（1）21；（2）515.（1）10；（2）5；（3）14

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