时间：2023-11-28 06:21:57
一、数学集合思想在高中生物教学中的应用
在数学学科里，集合是一个比较重要的概念，而集合知识点中，关于“子集”，及“元素”等相关概念，可以很好地应用到高中生物的教学中来，尤其是高中生物相关重要概念的学习中来，由于高中生物学科中涉及到较多概念，学生完全死记硬背，效果不好，且容易混淆遗忘，而采用数学中集合思想，则可以将这些生物概念中，具有相似性或有类属关系、有交集的概念集合分门别类，并用集合图形的方式，简单明了的呈现给学生，方便学生理解和记忆．
二、排列组合数学思想在高中生物教学中的应用
排列组合也是数学学科中，最为重要的一个知识点之一，该思想在高中生物教学中的生物多样性知识点方面，也有着重要的应用价值，在数学学科中，排列问题，其主要集中在重复的排列组合，以及不重复的排列组合，因而在将该数学思想方法应用到高中生物教学中来，就需要首先明确其属于何种排列组合．如案例“现有A、B、C三种氨基酸，当每种氨基酸数目不限的情况下，可形成三肽化合物的种类数，及形成三种氨基酸的三肽化合物的种类数分别是多少?”．该题中，首先要区分该题属于何种排列组合问题，由排列组合数学思想并结合题意可知，前面一个问题属于重复的排列组合问题，后面一个问题属于不重复的排列组合问题，前面问题中，三肽中的三个位置上，每个位置中出现的氨基酸，其可能的种类数是C13=3种，则三肽的种类是C13C13C13=27种;后面问题中，三肽中每种氨基酸都有一个，其可组合成的三肽数目是C33=6种，由此该题答案为27，6．借助数学排列组合思想，还可以有效地应用到高中生物密码子的排列组合等问题中．
三、数学函数思想在高中生物教学中的应用
函数在数学学科中占据重要地位，其思想精髓在其他自然科学中也具有十分广泛的应用，如在高中生物教学中，也经常会遇到与变量有关的问题，本文主要讲述一次函数在高中生物教学中的应用．如案例“一个双链DNA中，G和C之和占全部碱基的46%，其中一条链(m链)的碱基中28%是腺嘌呤，那么与m链互补的n链中，腺嘌呤占该链碱基数的百分比是多少?”．根据题意，及数学函数思想，在解答这道题时，我们可以结合题目已知条件，列出一个一次函数，题目已知条件为A1=28%，G+C=46%，题目要问的是A2的值，我们可以首先设A2为x，然后依据碱基互补原则，可以列出相关一次函数:A=1－46%2=27%，x+28%2=27%，通过计算，可解的x值为26%．该生物题目的解答过程，就渗透到了数学学科中的函数思想及数学计算技能，将所求的未知量设为变量x，再根据已知条件，得到一个一次函数，再进行简单的数学计算，就可得到结果，从而将复杂的生物问题简单化．
四、数学模型思想在高中生物教学中的应用
数学模型思想在高中生物教学中，也有着重要的应用价值．如案例“在学习完了孟德尔的豌豆杂交实验(一)(二)后，可以引导学生思考:如果考虑n对等位基因控制的生物性状，取F1自交得F2，则F2的基因型和表现型的比例是多少?”．采用数学模型思想，首先引导学生提出问题“考虑n对等位基因控制的生物性状，取F1自交得F2，则F2的基因型和表现型的比例是多少?”;然后再提出假设“如果这n对等位基因的分离和组合是互不干扰的，那么每一对等位基因的分离是遵循分离定律，而控制不同性状的基因则自由组合，遵循自由组合定律．”;接着再结合实验数据，用合理的数学形式加以表达:则F2表现型比例是(3∶1)n，基因型的比例是(1∶2∶1)n．最后教师再将相关实验数据显示出来，指导学生对这些实验数据进行分析，由此验证该构建的模型，最后达到对问题的解决．
由以上可以看出，数学思想在高中生物教学中，有着重要的应用价值，能极大地提升生物课堂教学效果，提升学生效率，因此加大对数学思想在高中生物教学中应用的相关研究，有着积极意义．
1.教材分析
本人仔细研究教材，深入挖掘编者意图，认为本节课的教材主要由以下几部分组成：
从小精灵聪聪提出的问题："小东家厨房装修得真漂亮，你能找出这些图案的规律吗？"入手，并呈现出小东家厨房墙面与地面瓷砖的图案，从生活中熟悉的情境出发，符合二年级学生的心理需求，目的在于调动学生的学习积极性，让学生观察这两个图案里面有什么规律？这为例1的教学埋下了伏笔.
例1把数学从生活中勾画出来，用图形代替图案，意在引导学生用生活经验解决数学问题，学会从数学的角度思考生活中的问题.
"做一做"的目的主要有：及时反馈对例1的掌握情况；引导学生学会逆向思维，直接从前面的"往后移"转变为"往前移"，让学生学会举一反三这一数学方法.
④从小精灵明明的问题："你能在手帕上设计出有规律的图案吗？"结束，目的在于引导学生发现数学美，并把数学运用于我们的日常生活中来.真正体现了新课标提出的数学从生活中来，到生活中去的教育理念.
2.学情分析
学生在一年级下册已经掌握一些简单的排列规律，如：
（ ）（ ）（ ）等等。而本节课的规律教学是在原来的基础上提高一定的难度，因为学生有前面的基础作为铺垫，因此本节课的教学，只要能抓住教学的重难点，并进排有效的引导，我相信名师们常说的："没有教不会的学生"将不再是一件难事.
二、教学目标
1.使学生发现并掌握图形的排列规律.
2.培养学生观察 操作 归纳 推理的能力.
3.培养学生发现生活中数学美的审美意识，并学会用数学去创造生活中的美.
4.培养学生学习数学的兴趣，从数学的角度思考生活中的问题.
5.培养学生养成排列整齐的生活习惯。
教学重点：
掌握图形的排列规律.
教学难点：
发现图形的排列规律.
三、准备材料
教具：小黑板 墙面图案卡片 地面图案卡片 例1卡片
学具：墙面图案延伸卡 地面图案延伸卡 一张白纸 彩色笔
四、教学流程
（一）创设情境 回顾旧知—— 《5分钟》
师：上课之前，想请同学们帮老师一个忙，不知道大家是否愿意？（愿意）老师为自己家厨房的装修设定了几套方案，不知道该选择哪一套比较漂亮，想听听同学们建议。
师出示以下两张图，问：你更喜欢哪一种方案？为什么？
生发表观点：喜欢第一种，因为第一种排列有规律；第二种比较乱。
【设计意图：通过创设帮老师解决问题的学习情境，充分调动学生踊跃参与的学习热情，培养学生排列整齐的生活习惯。因为学生在一年级下册已初步掌握了简单的排列规律，故设计此方案，符合学生的实际需求，且为接下来的新课教学奠定基础。】
（二）合作学习 主动探究 ——《20分钟》
（1）墙面方案 ——《2分钟》
1、师出示第三个方案
问：这个方案，你们觉得可以吗？说说你的理由？
生1：我认为不可以，因为它们排列没有规律。
生2：我认为可以，因为它们的排列有规律。第一排的 排在第1个；第二排的 排在第4个；第三排的 又排在第1个；第四排的 又排在第4个，这也是有规律的。
师：你们能否按照这个规律，一起设计第5排、第6排的排列方案吗？
生按照这个规律继续完成第5、6……排。
2、师出示第四个方案——《5分钟》
问：第四个方案，你认为可以吗？说说你的观点。
生1：第一排的第1个，调到第二排的第4个，其余三个依次往前移；第二排的第1个，调到第三排的第4个，其余三个依次往前移；第三排的第1个调到第四排的第4个，其余三个依次往前移。依次类推，按照这个规律继续往下排列。
其它学生尝试着叙述这个过程：每一排的第1个移到下一排的第4个，其余三个不改变顺序依次往前移。
生按照这个规律依次把第5排、第6排补充完整。
3、合作讨论：第五个方案——《5分钟》
问：你认为第五个方案，合适吗？说说你的理由！
生：每一排的第1个移到下一排的第4个，其余三个不改变顺序依次往前移。
生补充第5排、第6排…………
小结：经过同学们的帮忙，老师最后决定采纳最后一种方案，谢谢大家的帮忙。
【设计意图：从“扶”到“放”，依次出示第三、四、五方案，由易到难，由浅入深，层层递进，符合学生“跳一跳，够得着”的教育理念。】
（2）地面图案规律——《3分钟》
师：谢谢同学们帮老师出谋献策，让老师选中了一套自己喜欢的墙面设计方案，那接下来地面的设计，你们又是否愿意帮忙呢？
师出示地面砖的排列，让学生继续补充第5、6、7、8、排。
师：5 6 7 8排的图案刚好是把1至4排的图案再重复一遍而已。
问：9 10 11 12的图案又会是怎样呢？为什么会刚好是每4排循环一次呢？ （因为每一排都是由4种颜色组成，每一种颜色轮流排一次，刚好需要4次，所以每4次刚好循环一遍。）
（3）例1——《5分钟》
让学生自排补充完整，教师对此题进排延伸、拓展。
【设计意图：学生以上方案的探讨中，已经掌握了图形的排列规律。因此，这题主要放手让学生自己去尝试，一方面可以检查学生的掌握情况，另一方面也温故而知新。5到12排的延伸，让学生明白了小规律中隐藏着一个大的规律，无形当中对学生进行“山外有山 楼外有楼”的学习态度。】
（三）反复实践 巩固规律——《5分钟》
“做一做”学生做在书上，一生上台板演。
注意指出：前面的方案是从前往后移，而这题则是从后往前移。
【设计意图：培养学生迁移的学习方法，认真审题的学习习惯。】
（四）动手实践 创造规律——《5分钟》
（1）创造规律
师问：你们能在手帕上设计出有规律的图案吗？
师挑选几个代表上台展示作品。
小结：规律其实就在我们的身边。
【设计意图：培养学生发现和欣赏数学美的意识，知道数学来源于生活，用之于生活。】
（2）练十三1 2题
（五）课堂总结 梳理知识——《5分钟》
（1）揭示课题：排列规律
（2）谈谈本节课的收获与体会。
（六）板书设计
排列规律
墙面图案 地面图案
例1
论文关键词：排列组合,专题学科网站的开发设计,解决问题
《排列组合》是新课程实施以后新增的内容，分别在二年级和三年级上册以“数学广角”的形式呈现。二年级上册中仅是简单渗透，三年级相对完整和系统，开发的这个专题网站主要用于三年级学生使用。《排列组合》这一内容的教学目标是培养学生有序思考的意识和解决问题的能力，学生通过画一画、摆一摆、连一连等形式，通过观察、分析等途径，不仅能找出简单事物的排列数和组合数，而且会体验到计数时（特别是在思考问题时）如何全面有序、简捷地去思考问题。更为重要的是，我个人认为画、摆、连、观察等这些具体的、可操作的技能是学生学习数学，包括任何问题的解决，都可依凭的“通法”。介于此认识，所以选择《排列组合》内容进行主题网站的开发设计，希望借此网站每位学生都能学到“有价值的数学”。
网站的框架图如下：
排列组合
首页排列组合介绍数学方法解决问题分组合作评价交流
在“首页”里，以充满童真的画面和“欢迎来到神奇的排列组合世界”的魔力话语紧紧抓住学生的心，吸引他们进入网站开始学习。
在“排列组合介绍”模块里，设计了“回顾旧知”、“三年级的学习学习意图”、“学习目的”和“扩展认识”四大块，在“回顾旧知”里呈现了二年级学过的排列组合问题——用1、2能摆成几个两位数，用1、2、3呢？每两个人握一次手，三人一共握几次手？等，唤醒学生的相关记忆。“三年级的学习意图“里帮助学生读懂教材，弄懂教材编制本单元的初衷——在一些有意义的问题情境中，带着解决问题的愿望去思考、去探索，最终在获得问题解决的同时，有序思考的意识能深入脑中，有序思考的方法能熟练运用。在教学目的中说明“有序思考，解决问题”是本单元的教学目标，那么具体通过怎样的途径去实现？——画、摆、连、观察、分析等。“扩展认识”仅作了解，介绍了排列组合的基本原理，即分类计数和分分步计数，并用示意图讲解，主要用于想深入学习的孩子的需要。
第二模块“数学方法”，三年级的孩子都会自觉不自觉地运用一些方法来解决问题，而且每个人都有自己独特的思维方式和习惯了的解决方法，但他们还不能抽象概括出这种数学方法的名称，因此，在该网站中我设计了这一模块，目的是帮助学生提前了解列举法、画图法、符号法（五六年级的时候课本上会讲解），并知道可以用这些方法来解决问题。当然不需要学生回答解决这个问题用到的是什么方法，只需要知道象这样解决问题是可以的就行了。至于各种方法的精确概念没有定义，只是用排列组合例题来加以说明。如列举法——有序地、一一写出排列组合中的所有情况就是列举的方法。以李明、张亮、秦芳三人赛跑，他们的名次有多少种可能性为例来讲解列举法，而在列举时又有多种不同的形式，如用表格列举等。
数学方法当然还有很多，在“排列组合”专题网站中只介绍了常用到的这三种，其它方法有待今后再研究。
第三模块是“解决问题”，如果前面是临阵磨枪，那现在就是“小试牛刀”了。设置了“1分题区”、“3分题区”和“5分题区”，分值越大，题目越难。开发这一板块的目的是满足不同学生的需要，他们可以根据自己的掌握情况灵活选择题目来做，点击“我来答题”就可在“留言板”上回答，每一题都设有“参考答案”，部分题特别是3分和5分题还有详细讲解，查看“参考答案”，阅读、思考详细讲解也是一种学习的过程。通过这一模块的做题和学习，学生应该对排列组合问题有了更深入的了解，接下来就进入“重头戏”小组合作学习了。
第四模块里，预设了八个小组，主题分别是——探讨电话号码里的排列问题；运动场上的奥秘；我是摄像师；出游策划；小小主持人；盒子问题；图形与涂色以及学校管理员。每个主题都有相关的排列组合问题等着解答，解决问题只是一方面，主要是通过这些问题的探究形成有序思考的意识，掌握方法，以及在这个过程中学会与他人分工合作。下面我把“出游策划”中预设的一些问题呈现出来，供大家参考。
1．你们喜欢旅游吗？你们小组有六人，可现在只有两个外出旅游的名额，请问有多少种不同的给法呢？
2．剩下的四名同学不要着急，荆州本地也有几处名胜古迹（如博物馆、关帝庙、荆州古城墙等）就以这三处为例，每人选择一处，请问有多少种不同的参观方案呢？（提示：可以列表，以4人都去博物馆开始，然后三人去博物馆，再两人去博物馆，依次排列）
3．出游就得住旅馆吧！4人分住两个房间，每个房间至少住1人，求不同的住宿安排有多少种？
4．一位学生假期前往A、B、C三个城市游览，他今天在这个城市，明天就到另一个城市，假如他第一天在A市，第五天又回到A市，问他的游览路线共有几种不同的方案？（很有点难，可以用树形图一天一天地安排）
5．你可以把你的收获、感受或者是解答排列组合问题的诀窍用PPT或写数学日记等方式表达出来吗？
殊途同归，每个小组虽然依据自己的喜好选择了不同的主题，但探究的内容在本质上是一致的，均是排列组合问题，最后再用数学日记、手抄报、照片或者是PPT等形式把学习中的体验、收获、感受记录下来。
最后的模块是评价与交流，学生可以在留言板上与老师、与小组成员或者是不同组成员之间进行讨论，为师生共同创设了一个立体网络式交流环境。学生也可以参照自我评价表和小组合作评价表进行评价，做到认识自我，正确评价自我，明确今后需要努力的方向。
参考文献
[关键词]组合数学；思想；方法；研究
中图分类号：015
文献标识码：A
文章编号：1006-0278（2013）04-199-01
组合数学，又叫做离散数学。狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态的存在、计数以及构造等方面问题。组合数学在教学内容上主要有：组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。组合数学是计算机技术出现之后快速发展起来的一门数学分支。计算机科学即算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰就形成了组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中，甚至在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析，城市物流等领域均有重要应用。对组合数学在数学学科当中具有重要的地位，关于组合数学中思想与方法的研究有利于了解组合数据的相关概念，提高对组合数学的研究水平具有重要的意义。组合数学中思想与方法主要有以下几种：
一、乘法法则
乘法法则是指设事件A有m种产生式，事件B有n种产生方式，则事件A与B有m・n种产生方式。集合论语言：若|A|=m，|B|=n，A×B={（a，b）|a∈A，b∈B}，则|A×B|=m・n。乘法法则具体运用案列有：某种样式的运动服的着色由底色和装饰条纹的颜色配成。底色可选红、蓝、橙、黄，条纹色可选黑、白，则共有4×2=8种着色方案。若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙、黄四种颜色的话，则，方案数就不是4×4=16，而只有4×3=12种。在乘法法则中要注意事件A和事件B的相互独立性。
二、排列与组合法
排列是指从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的个数用P（n，r）表示。当r=n时称为全排列。组合是指从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。组合的个数用C（n，r）表示。如8人分4组，每组2人，有多少方案？某人选同组7个选择，余6人之一选同组5个选择，余4人之一选同组3个选择，合计7×5×3=105。另8人分4组，每组2人，有多少方案？8人选第一组，C（8，2）个选择，余6人选第二组，C（6，2）个选择，余4人选第三组，C（4，2）个选择余2人选第四组，C（2，2）个选择，4组排列，重复度4！，合计C（8，2）×C（6，2）×C（4，2）×C（2，2）/4=105。从以上的分析可以看出如果r>n或r
三、鸽巢原理
鸽巢原理若有n个鸽子巢，n+1个鸽子，则至少有一个巢内有至少有两个鸽子。设m1，m2，…，mn都是正整数，并有m1+m2+…+mn-n+1个鸽子住进n个鸽巢，则至少对某个i有第i个巢中至少有mi个鸽子，i=1，2，…，n.Ramesy数：r（x，y）表示最小的点数n形成的任意图，要么其中有x个点两两相连，要么其中有y个点两两不相连。显然r（x，y）=r（y，x）；r（x，2）=x；桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是组合数学中一个重要的原理。
四、容斥原理
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理是指求集合A其中不包含具有属性p1，p2…pn的元素的个数。简单形式：对集合A求不包含p的元素个数求出包含p的个数，那么答案为|A|-|Ap|对于p有N个的情况，为|A|-|A（p1）|+|A（p2）|-|A（p3）|+…+（-1）&^n×|A（pN）|pk为任意k个属性的组合。
关键词：小学生；案例分析；优缺点；解决策略
中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）28-149-02
一、内容及背景介绍
《找规律》是苏教版小学四年级数学上册第五章的内容，这节课是本人在顶岗实习时给一所农村小学四年级学生上的一节课。在苏教版教材中，《找规律》将在四、五年级的数学课本中以独立的章节出现四次，本次课所讲授的内容是这四部分中的第一部分。虽然学生是第一次接触本节课的内容，但是通过以往的学习，大部分学生已经对本章内容有了初步的感知，只是尚并未形成明确的表述。
二、案例详述
1、课程引入
（教师首先从学生中挑选4名男同学和4名女同学站在讲台上，并将这8名学生按照一男一女的顺序排好队）
问：请大家依次说出他们的性别？
生：男、女、男、女、男、女、男、女
师：可不可写成这种形式？（教师板书：男、女、男、女……）
生：可以
师：为什么可以用省略号表示呢？
生1：因为他们排队是有规律的。
教师总结：由于他们的排列很有规律，所以我们可以运用文字叙述和省略号结合起来的方式来简单表述他们的性别规律。那么，这节课我们就一起来学习“找规律”。（板书课题：找规律）
2、探求新知
师：省略号表示有很多很多，可是我们现在讲台上站着的只有八名同学，所以我们还是把它们改写成：（板书）男、女、男、女、男、女、男、女。
问：谁能用简洁的语言描述一下他们是怎样排列的呢？也就是说你能总结一下他们的规律吗？
生1：两个男生中间有一个女生。
师追问：大家觉得对不对？ （有人说对，有人说不对）
师：那现在同意的人和不同意的人分别派一个代表来说一下你们的理由。
生 1：我认为是对的，他们就是这样排列的，每两个男生之间都有一个女生。
生2：我不同意，虽然前面是这样的，但是最后一个女生就不是这样的，他的后面没有人了。
师：现在你们还同意这种说法吗？
生：不同意。
师：那要如何把它修改一下呢？谁有想法？
生3：我认为他们的规律是男生女生间隔排列。
师：你们同意吗？
生：同意。 （教师板书：间隔排列）
师：按照这种排列方式，男生和女生各有多少人？有什么关系？
生：男女生人数相等，都是4个人。
师追问：这是一定的还是只是个巧合？
生：是一定的，因为有一个男生他后面一定会有一个女生，他们是成对出现的，所以男生女生人数相等。
师指出：像这样排列成直线的两种物体，数目是相等的。（板书）
师：现在我们回过头来再看一下刚才大家的回答（两个男生中间夹着一个女生），虽然他不完全正确，但是他也并不完全错误，大家想一想，能不能通过修改排队方式使这句话变得正确呢？小组之间讨论一下。
生1：把最后面的那个女生去掉。
师：这种方法可不可行？
生：可行。
师：还有其他方法吗？
生2：在最后面再加一个男生站在女生后面。
师：同意这种说法吗？
生：同意。
师：现在请大家分别数一数用这两种方法进行改进之后，男生和女生各有多少人？
生：把最后面的女生去掉时，男生有4人，女生有3人；在最后面添一个男生是，男生有5人，女生有4人。 （教师列表板书）
师：观察表格，你能不能找出男生和女生在人数上存在的关系呢？
生：男生人数比女生人数多1。（教师板书）
师追问：是不是按照这种方式排列，男生人数永远都比女生人数多1呢？为什么？
（小组讨论汇报）
生：是的，因为从第一个到倒数第二个人都是按照男生女生间隔排列的方式排队的，所以在这些人中，男生和女生的人数是相同的，而最后一个人是男生，所以，男生要比女生多1名。
师：按照这样的规律排队，如果有男生20人，女生有多少人？
生：20-1=19（人）（教师板书）
师追问：如果女生有20人，男生有多少人？
生：20+1=21（人）（教师板书）
师：怎么能总是男同学比女同学多一人呢，女同学肯定不高兴了，那快想一想，依旧按照这种方式排列，能不能让女生比男生人数多1呢？
生：让男生和女生位置互换一下，把女生放在第一个的位置上。
师指出：事实上，将两种物体按照间隔排列的方式排成直线，处于两端的物体数目比处于中间的物体数目多1。（板书）
3、巩固练习
（1）例题讲解。要求学生阅读课本第48页例题并观察图片。
师：在图片上，你找到几组按照我们刚才所讲的规律排列的物体？它们分别是什么？有多少个呢？
生1：手帕和夹子，手帕有9块，夹子有10个。
生2：蘑菇和兔子，有7个蘑菇， 8只兔子。
生3：栅栏和木桩，有12块栅栏，13根木桩。
师：你能用我们刚才学到的规律演算一下这些数字是否正确吗，该怎么办？
生：都是正确的，在每组排列中我先数出处于两端的物体的个数，再由于处于两端的物体比处于中间的物体多1得出处于中间物体的个数。
（2）举例说明
师：在日常生活中，我们也会经常碰到这样的规律，比如说一栋楼房里，每两层之间有一节楼梯，楼层数比楼梯数多1，你还能想到其他的吗？
生1：每两盆红色的花中间摆一盆黄色的花，红色花比黄色花多1。
生2：在绳子上打3个结，绳子被分成了4段。
生3：在岸边，每两棵柳树中间有一颗杨树，柳树棵数比杨树多1。
……
师：在生活中，有很多这样的例子，只有大家认真观察，勇于发现，善于把课本中的知识与实际生活联系起来，相信大家可以把数学学得更好。
4、课堂小结及课后作业
师：本节课我们学习了这样的一个规律：将两种物体按照间隔排列的方式排成直线，当两端物体相同时，处于两端的物体数目比处于中间的物体数目多1；当两端物体不同时，两种物体的数目相等。希望大家在课后能够多观察、多发现，在实际生活中体会和理解这种规律的用处，并完成课本第49页“想想做做”1～3题。
三、案例分析
1、案例中的优点
（1）创造性使用教材，与实际生活紧密联系。本节课的授课内容，并没有按照课本中的例题进行讲授，而是选择了通过让几名同学进行排队的方式，将这一规律展示给学生。采取这种更贴近学生实际生活的方式，使学生能够更直观的感知这一部分知识，也更容易理解这部分知识的内容。事实证明：由实际生活中的问题总结出的规律更有利于学生掌握和运用。与此同时，将教材中的例题以习题的形式展示给学生，不仅加深了学生对本节课重难点的掌握情况，也同时使学生对教材的内容有了更深入的理解。最后，让学生举出生活中的例子，其目的在于提醒学生数学学习离不开实际生活的应用，初步培养学生用数学观点分析生活的意识和能力。
（2）自主探索，小组讨论，教师引导，突出学生的主体地位。本节课的教学过程中，教师通过引导学生观察、思考和组内合作学习的方式，使学生经历自主探索间隔排列的两种物体个数的关系，以及类似现象中简单数学规律的过程，初步体会和认识间隔排列的物体个数关系间的规律，并学会运用联系发现的规律解决一些简单的实际问题，使学生在探索活动中初步发展分析、比较、综合和归纳等思想能力。而教师则主要通过启发、点拨和总结的方式完成对知识讲授过程的把握以及对学生的回答进行概括和梳理。使用这种方式进行教学，更能突显学生的主体地位，使学生的思维能力得到最大限度的锻炼和提升，使每个学生都能真正参与到课堂教学中，经历探索发现的过程，在轻松娱乐的氛围下积极开动脑筋完成对知识的掌握和运用。
2、案例中的不足及原因
（1）课堂时间分配不均，练习过少。由于本节课有多处小组讨论以及自主探究的教学方式，而面向对象是小学四年级的农村学生，在这节课之前他们从没接受过这种教学方式，在感到新颖独特的同时，也出现了很多问题。而最大的问题就是，采用这种方式进行教学一定程度上影响了课堂纪律，且由于学生理解能力和概括能力的限制，很多问题需要教师进行多次引导、多次启发才能达到预期效果，故导致课堂教学速度减慢，讲解习题时间被迫压缩，导致一部分同学在做练习时出现困难。
（2）对于学困生关注不够。在教学过程中，虽然学生积极性很高，课堂气氛很好。但是，由于成绩好的学生过于活跃和积极，使得一些中等以下的学生并没有思考的空间，他们只是被动的接受结论而忽略了探索的过程，进而导致其对知识的理解程度不够，掌握得也不够扎实。且在分组时仅仅遵循就近原则，忽略了学生自身能力等因素的不均衡，导致组间学生差别过大，所得结论也不尽相同。
3、解决策略
教学总是有着太多的遗憾，而教师要做的就是力求把这些遗憾降到最低，要做到这一点，就要求教师在课后要经常总结，找出不足，积极反思，找到适当的解决策略。所以针对以上的不足，我认为可以进行如下修正：
（1）对学生进行重新分组。在这次分组中，要充分考虑到学生的性格差异，学习成绩以及思维能力等方面的差异性，合理分配，使每个小组的综合能力水平相一致，力求使每一个学生在小组中都能得到一定程度的锻炼和发展；
（2）关注不同层次的学生。在授课过程中，尤其要多关注那些平时不太活跃、不太善于沟通的学生。具体来说，可以适当多给予他们一些机会去表达自己的想法，而让那些善于表现自己的学生多些思考。通过不同难度的问题，使不同层次的学生都能得到一定程度的提高；
（3）合理分配教学时间，自主探究与教师讲授相结合。本节课依靠学生自主探究的地方过多，对学生要求过高。所以，在日后授课中，可以采取在合作学习与教师讲授相结合的方式进行教学，对于教材的重难点还是要以教师讲授为主，细化学生自主探究的内容，加强引导点拨，使学生能更容易找到问题的答案。并且，在上课前，一定要做好充分的准备，尽可能全面地考虑到学生的反应，以便做出相应的措施。只有这样，才能更好地完成教学任务和教学内容，是每个学生都能实现最大程度的发展。
关键词：数学课堂 自主探究 案例分析
新课程标准指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”下面通过对苏教版五年级《找规律》里“试一试”的两个教学案例片段的对比，对小学数学自主探究性学习的现状及数学课堂教学活动的发展进行简析。
【案例A】（学生回答略）
教师出示“试一试”灯笼图，问：照这样下去，从左边起第17盏灯笼是什么颜色？请大家看一看，这些灯笼是按照怎样的规律出现的？几个为一组？
师：问第17盏是什么颜色？会求了吗？谁来说一下算式？
师：他说的非常好。
【案例B】
师：出示改动的灯笼图，问：从左边起，第17盏灯笼是什么颜色的？让学生观察，给出不同的答案。
师：你确定吗？教师用方框图从左边起，分别两个两个、三个三个、四个四个圈一圈。学生逐一观察快速比较方框图中的灯笼颜色。
当发现确实无规律时，师问：这道题目，我们还能解答吗？给学生时间思考讨论，引导学生通过更改灯笼的次序解答问题，使题目变得有规律。学生给出解决办法后，教师将图片中灯笼位置调换，还原教材中原图，并要求学生说出图中灯笼安排的规律。
师：（辅以手势），你知道第17盏是什么颜色吗？（学生小组交流解答方法）
师：确定吗？你是怎么知道的？
师：第17盏灯笼和前面的哪一盏颜色相同？（由“一组”到“每一组”）
师总结
一、情境创设、联系生活
教学实践表明，精心创设问题情境能够激发学生的好奇心和求知欲。上述的两个案例中，两位教师把“找规律”这一教学活动与生活中的灯笼排列结合起来，案例A中，教师直接呈现有规律排列的灯笼，案例B中教师呈现的则是没有规律排列的灯笼，给学生以一种矛盾和无从下手的问题情境，启发学生探求解决问题的欲望。这不仅仅有益于激发学生的好奇心与求知欲，让学生将数学问题与实际生活联系起来思考问题，同时也有利于学生解决问题的能力的发展、体验数学价值和感受数学魅力。
二、问题呈现、诱导质疑
在“找规律”的教学活动中，学生的理解，首先建立在规律的认识上，其次是有没有规律，进而使用这样的规律。而案例B中，教师打乱了原本教材中的主题图，先要求学生判断有没有规律，而后让它们寻找解决之法，这样预设的“乱”给学生以新鲜感和认知冲突，引导学生对现有的问题进行分析、探究和讨论，可以有效地促进学生自主探究能力的发展。
三、动手实践、小组合作
小组合作学习，适应素质教育的要求，是儿童非常喜欢的一种学习方式。在上述的两个案例中，案例A中，教师试图将主动权交给学生，却单纯地以问答的形式来进行这样的一个活动，紧紧地“牵着”学生，谨慎而小心地完成教学任务，对学生的自主合作探究能力的发展，虽然不会有大的阻碍，但是也没有促进作用。案例B中，教师在呈现不一样的主题图，让学生产生疑惑与寻求解决方法，教师与学生在得出“灯笼的排列是没有规律的”这一结论之后，教师能够带领学生动手操作，以画圈的方式的进行验证，老师与学生一起动手操作。教师为学生提供了比较、交流的空间，使学生在独立思考的基础上，有机会和同伴分享自己的学习成果，在乱中求序的过程中，学生从被动的学习者变为主动学习的参与者与知识的研究者，这才是主动学习的目标所在。
四、自主评价、激励成功
教师的语言评价与学生的自我肯定，孰轻孰重？对比案例，案例A中可以称之为评价的话，只有一句话“他说得非常好。”是教师对所回答问题的学生的评价，语气平淡，情感单一，没有任何鼓励的味道。相比较，案例B中，教师并没有对学生进行直接的语言评价，而是在创设问题情境之后，引导学生进行探索，通过不断地提出疑问来让别的同学不断地对其进行间接的肯定，最后通过验证让学生获得成功的体验，不难看出，这对学生自信心的发展和成功经验的获得有着重大意义。
五、总结
构建小学数学自主探究学习课堂教学模式，对教师的教学提出了更高的要求。正如案例B中所示，教师要努力创造性地使用教材，联系实际提供丰富的研究材料，灵活地采用多种方法，营造和谐的教学氛围，充分调动学生的积极性，鼓励学生独立思考、交流合作，激发并维持学习热情，从而提高数学教学实效，促进学生的全面发展。
参考文献：
[1]周慧琴.同中求异 乱中求序 见微知著[J].上海教育科研，2011（11）
[2]林高明，陈燕香.小学数学：名师同课异教[M].西南师范大学出版社，2010（3）
[3]教育部基础教育司.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京师范大学出版社，2005
[4]何鹏程，袁阳生，何鹏万.小学数学“自主探究”教学模式初探[J].江西教育科研，2002（10）
为了巩固和加深学生对排列组合概念的理解，我设计了如下题目。请思考以下问题：
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增添了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）
A． 42B。30 C 。20D 。12
很快，同学A便给出了一种解法：列式为.
同学B也给出了一种解法：列式为＝42
同学C说：我不理解“”，为什么是“”，我更不理解“”，我认为应该是：＝42.”
面对三个不同的解释，教室内的气氛一下热烈了，同学们便不由自主地讨论起来，有的拥护A，有的拥护B，有的则认为C有道理。
2 在讨论中暴露学生的思维过程
无序的讨论没有什么效果，这时需要将讨论引向问题的实质。
教师：“大家将讨论集中一下，先请同学A、B、C分别解释一下他们的解题思路，看看谁能说服大家。”
同学A：从7个位置中选2个位置给新的节目，并且排序，剩下的5个位置给原定的节目，无须排序，故而为
同学B：把7个节日进行全排列，即，然后原先有的5个节目只能有一个顺序，故而消去之间的相对顺序，所以列式为=42
同学C说：我的思路是：在原定的5个节目的空档先填一个节目，即，然后再在6个节目的空档填另一个节目，即，所以是.
教师：“几位同学对自己答案的解释，好像都有道理，结果也相同，是否解答都正确，请大家继续思考。”
同学E说：这个问题可以用分类计数原理解释：分两个新增节目不相邻地插入和两个新增节目相邻地插入两种情况，即得：=42
同学D：同学B的解法中＝42确实不好理解，在这一点上，C的解法似乎更好解释，但又觉得C的解法会出现重复。
教师：为什么会觉得C的解法会出现重复？
同学D的发言已触及到问题的要害，却没有同学再接下去了，讨论进行到这里陷入僵局，多数同学出现百思不解的神情，一方面觉得结果是对的，另一方面从实际情景考虑，觉得C的解法确实会出现重复。现在是教师发挥作用的时候了，但如果直接抬出结论不会有好效果，这样做的结果常常是“一听就懂，过后就忘”。
教师：我们小结一下刚才讨论过程中的要点：
（1）同学A、B的解答没有人提出疑问，直觉上答案就是42，
（2）讨论的焦点集中在是否出现重复
（3）注意同学D指出的同学C的解法会出现重复”让我们回到教材，看看排列组合的定义中有什么被我们忽视了几分钟后同学E要求发言。
他说：我认为的解法是错误的，应该是，因为刚才在做时，没有明确哪一个节目在前，哪一个节目在后，故而丢了一个，后面做好之后所有的情况都会重复一次，所以应该消序一次，除以
3释疑解惑，深化对概念的理解
许多同学听了这个解释仍表示不理解，主要是对“所有的情况都会重复一次”不理解。
教师：为了解释清楚这个问题，说明是怎样出现重复的，我们不妨把原来的5个节目设为A、B、C、D、E,排成 “A B C D E”的顺序，两个新的节目不妨设为甲、乙。
第一种情况。在做第一步时，有可能出现“A B甲 C D E”情况，然后在中出现“A B甲乙 C D E” ；第二种情况，在做第一步时，亦有可能出现“A B乙C D E”情况，然后在中出现“A B甲乙 C D E”，这样“A B甲乙 C D E”考虑了两次。
为什么所有情况都会重复一次呢？除了刚才说的两个节目相邻会重复，两个节目不相邻，如“A甲 B C乙D E”也会重复，一种情况下，第一步从甲、乙中选出的是甲，填成了“A 甲B C D E”，然后选出的是乙，填成了“A 甲B C乙D E”，另一种情况，第一步选出的是乙，填成了“A B C乙D E”，然后选出的是甲，填成了“A 甲B C乙D E”，所以有重复，而且所有情况都重复一次，故而除以甲、乙的顺序即可，是凑巧等于答案了，少乘一个，少除一个，所以正好，但它的意义是不正确的。
对于同学A的解法：将新增节目和原定节目共7个节目看成7个位置，先将新增节目安排在这7个位置中的2个位置，并且排序，有种排法，剩下的5个位置给原定的节目，无须排序，故而为
同学B的解法：将新增节目和原定节目共7个节目进行全排列，即，然后原有的5个节目A、B、C、D、E,排成 “A B C D E”的顺序只是这5个节目全排列即中的一种情况，故而消去之间的相对顺序，所以列式为=42
同学E的解法是分二类，第一类：将两个新增节目不相邻地插入原有的5个节目的6个空档中的两个，有种插法，第一类：将两个新增节目相邻地插入原有的5个节目的6个空档中的一个，并且排序，有种插法，即得：=42
小结：（1）今天找到了解决这类问题的四种解法（如上①②③④）其中解法②带有直觉思维的特点，因此显得最简捷，但对比紧扣概念的解法①③④，解法①简明一些。（2）由解法①③④的分析知在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，而分类与分步是解排列组合的应用问题的核心，容易产生的错误是遗漏和重复计算。
4发散联想，提高学生的思维能力
（1）将以上问题推广,我们可以得出一般结论：某班新年联欢会原定的n个节目已排成节目单，开演前又增添了m个新节目，如果将这m个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为：
(2) 进一步推广：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增添了A、B、C 三个新节目，如果将这三个新节目插入原节目单中，要求A、B相邻，且C与A、B都不相邻，那么不同插法的种数为：
（3）横向联系：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增添了A、B、C 三个新节目，如果将这三个新节目插入原节目单中，要求A不安排第一，且C不安排在末尾，那么不同插法的种数为： (间接法) 或（直接法）
归纳：解排列组合的应用问题，要注意以下几点：
（1）仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性质进行分类，按事件发生的过程进行分步。
（2）以元素为主时，先满足特殊元素的要求，以位置为主时，先满足特殊位置的要求，先不考虑附加条件，计算出总数后，再减去不符合要求的方法数。
（3）对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决。对于难于直接解决的问题，还可以用间接法，但应该做到不重不漏。
四川省自贡市自流井区塘坎上小学
苏梅
教学内容：西师版教材五年级上册，多边形面积的运用。
教学目标：
1、让学生理解长方形里能剪几个相同的小正方形、小长方形、小三角形这类题的计算方法
2、让学生经历摆一摆、剪一剪的过程，探索、掌握此类题的解题方法
3、培养学生小组合作学习的能力
4、培养学生的动手操作能力和空间想象能力
学具准备：小正方体，大长方形卡纸、小正方形、小长方形、小三角形
课前分小组：4人一组；
了解学情：1、学生对长、正方形，三角形的面积是否会算，
2、在解决此类问题时，能否出现两种算法，第一种：用大图形面积除以小图形面积，第二种：用每排个数*排数
3、小组合作学习的情况，了解每组擅长表达的孩子，找好发言人
教学过程：
课前活动：搭积木
至少用几个这样的积木（正方体），可以搭成一个大正方体？
生答。可能会出现4个，或8个两种答案。
小组合作，拿出小正方体，摆一摆，验证答案。并汇报。
有时候我们靠想象不能判断出答案是否正确时，可以用身边的实物动手摆一摆，把抽象变成直观，在摆的过程中也许正确答案就出来了。
(引导学生大胆表达，说得好的用掌声鼓励)
一、 谈话引入，前面学了多边形面积的计算，今天我们就用多边形面积解决实际问题。板书课题。
二、新授课
（一） 活动一：（刚好摆完，没有剩余）
一张长18厘米,宽12厘米的长方形卡纸，可以剪多少个边长是6厘米的小正方形？
小声读题，找出关键词，理解题意。
请学生说做法，可能出现两种，如果没有出现摆一摆的方法,“如果给你们这样的长方形、小正方形，能不能用摆一摆的方法来验证结果是否正确”
下面小组合作，讨论做法
活动要求：
请组长拿出准备卡纸，开始吧。
汇报，找出不同算法，老师板书算式，
法一：大面积/小面积
法二、 摆一摆 （画出示意图）
18*12＝216（平方厘米）
每排个数 18/6＝3（个）
6*6＝36（平方厘米）
排数 12/6＝2（排）
216/ 36＝6（个）
总个数
3*2＝6（个）可能会出现以下错误：216/6＝36（个）用的边长
或6*4＝24（厘米 ）216/24＝9（个）用的周长
教师引导学生进行错误辨析
引导得出两种，方法大面积/小面积，
提炼出以下词语，摆一摆，每排个数，排数，总个数
（二）活动二：（没有摆完，有剩余）
一张长18厘米，宽16厘米的长方形卡纸，可以剪多少个边长是6厘米的小正方形？
活动要求：小组合作
A方案
先列式，再动手摆一摆验证答案。
B方案
先摆一摆，再列式计算
A、B方案任选一种
请一个小组读活动要求。
请拿出准备的卡纸，各小组选择喜欢的方案，开始吧。
法一出现错误，18*16＝288（平方厘米）
6*6=36(平方厘米)
288/36＝8（个）
法二摆一摆 （画出示意图）
每排个数 18/6＝3（个）
排数 12/6～2（排）
总个数
3*2＝6（个）
引导学生辨析，得出法二的优势，做此类题用法二更好。
摆的时候，只能摆2排，每排只能摆3个，剩余的部分不能再摆了，所以还是只能剪6个小正方形。
用法一，只是去考虑了计算，没有考虑实际情况，所以是错的。解决问题时能用看答案与实际情况是否相符，来检查答案对不对。
法一只适合刚刚摆完，没有剩余的情况，也就是长和宽都是小正方形边长的倍数
法二能适合所有的情况。
那以后你选择哪种方法来解答这类题，摆一摆的方法。更准确、数字更好算。
（三）活动三
一张长18厘米，宽16厘米的长方形卡纸，可以剪多少个底和高都是6厘米的小三角形？
读题、辨析与上一题的不同点。
活动要求：小组合作
先摆一摆，再说一说，最后列式解答。
汇报展示。让学生理解为什么每排个数要乘2。
以学生的表现给予恰当的即时评价。
总结出此类题的解题策略 ：
三、说说这节课，你有什么收获？
（灵活处理）思考题：一个长20厘米，宽15厘米的长方形能剪（
）个长15厘米、宽5厘米的小方形。
板书设计：
裁
剪
―――多边形面积的运用
法一：大面积/小面积
法二、 摆一摆 （画出示意图）
18*12＝216（平方厘米）
每排个数 18/6＝3（个）
6*6＝36（平方厘米）
排数 12/6＝2（排）
216/ 36＝6（个）
总个数
3*2＝6（个）
（错误）18*16＝288（平方厘米）
（画出示意图）
6*6=36(平方厘米)
每排个数 18/6＝3（个）
288/36＝8（个）
排数 12/6～2（排）
总个数