在知识发生过程中建构数学概念

高中数学课程标准指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。在落实新课标的实践中，我们认识到，加强概念发生过程教学，注意学生对概念实质理解和运用，避免过度抽象和形式化，是提高学生数学思维能力的关键。

一、注重探求概念的形成过程，避免结论直接呈现

新课标指出，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，可以通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。因此，在数学概念教学中要强化学生对概念的“探求”过程：“情境――疑问――探求――结论――辨析――获得”，学生在“探求”亲身“经历”概念的发展过程，可以让学生产生获得概念的愉悦感，拓展学生的思想方法和提升学生的创造力。对于情景的设置，教师可以先提供背景材料，让学生在其中发现和提出问题，材料既要符合学生已有的经验，又要隐含构建新概念的问题情景，隐含新概念所描述事物的本质。也可以直接由教师提出问题。解决问题的探求过程可以是开放的，让学生大胆假设和猜想，合作交流，教师注意把握方向，及时引导学生朝着揭示概念的本质特征的方向上来。让学生认识到提出新概念的必需性和合理性，并在此基础上归纳概括出概念的本质特征。

例如在等差数列概念的教学中，采用以下引入过程。

在现实生活中，经常会遇到下面的特殊数列。

1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5个数一次，可以得到数列：

0，_______，_______，________，_______，……

2.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼，如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：

18，_______，________，________，_______，5.5．

3.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：

本利和＝本金×（1＋利率×存期）。

例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和组成的数列是

______，______，_______，_______，______．

问题：上面的数列有什么共同特点？你能用数学语言（符号）描述这些特点吗？

让学生通过亲身体验各个数列中项的形成，得到规律，发现3个数列有一个共同的特点：从第二项起后一项减前一项的差值是一个常数，从而得到概念，经历了一个数学发现和创造的过程。

二、注重理解概念的实质，避免过度形式化

张奠宙先生讲过，“教科书里的数学知识，是形式化地摆在那儿的。准确的定义、逻辑的演绎、严密的推理，一个字一个字地线性地印在纸上。这是知识的学术形态，学生比较难懂。要把数学知识转化为教育形态，一是靠对数学的深入理解，二是要借助人文精神的融合。人文修养不足，只能就事论事，没有文采，深邃的数学文化，结果成干巴巴的教条，学生学而无趣，最终不得已成为考试的奴隶”。

如何把数学概念转化为一种教育形态？那就是强调学生理解概念的实质，让数学概念呈现一种符合学生的认知能力和认知水平的状态，从而被学生吸纳，不排斥数学的形式化，也不过度追求概念的形式化。教学过程还要注意数学符号的使用和转化，注意文字、符号和图形之间的转换，强调符号感，适度形式化。

例如在向量概念的教学中，可这样引入，首先思考以下问题：

1.在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？

2.既有大小又有方向的量应如何表示？

学生分析讨论，可能会回答：人的身高，年龄，体重；……图形的面积，体积；物体的密度，质量；……物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移……

然后引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念，分析两种量的区别和联系，从而强调向量的表示方法：用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。向量不仅可以用有向线段表示，也可用a、b、c…表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB，向量AB的大小就是向量AB的长度（模），记作|AB|。长度为零的向量叫零向量，记作0或0。长度等于1的向量叫作单位向量。

三、注重融合概念的运用，避免知识脱离实际

数学概念是对空间形式和数量关系的反映，数学概念来源于现实，并服务于现实。因此，数学概念教学也要联系实际，并大力加强和数学应用的联系。数学概念教学应提供概念的实际背景，反映数学概念的应用价值，使学生体验数学概念在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。应用问题要来源于生活，贴近生活，注重学生的亲身实践，注重符合学生认知水平，在应用的基础上建立概念模型。例如：在函数的概念教学中，首先引入以下实例：

1.一枚炮弹发射后，经过60s落到地面击中目标。炮弹的射高为4410m，且炮弹距地面的高度h随时间t的变化规律是h＝294t－4.9t2，（0≤t≤60，0≤h≤4410）。

2.近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979年到2001年的变化情况。

3.国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。

问题：分析以上三个实例，对任一个给定的ｔ，射高ｈ、臭氧层空洞面积Ｓ、恩格尔系数是否有值与之对应？若有，有几个？在学生充分分析和讨论的基础上，总结归纳以上三个实例的共同特点，从而建立变量之间的对应关系，得出函数概念的本质特征，充分体现了数学从实践中来。

四、注重概念的人文价值，避免内容缺失文化

新课程标准强调数学是人类文化的重要组成部分，有它自己的文化渊源。在数学概念的教学中应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。在概念教学中，教师要善于挖掘素材和创设氛围，渗透数学的人文价值于数学概念的教学中。例如在复数概念教学中，可以先阅读以下文字：

数的概念是从实践中产生和发展起来的。早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0。自然数的全体构成自然数集N。随着生产和科学的发展，数的概念也得到了发展。

为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数，这样就把数集扩充到了有理数集Q，显然N?奂Q。如果把自然数集（含正整数和0）与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z?奂Q、N?奂Z。如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集。

有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数。所谓无理数，就是无限不循环小数。有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R。因为有理数都可看作循环小数（包括整数、有限小数），无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集。

然后教师总结：数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾。但是，数集扩充到实数集R以后，像x2=-1这样的方程还是无解，因为没有一个实数的平方等于-1。由于解方程的需要，人们引入了一个新数虚数单位，于是引入复数的概念。

这样既能让学生了解数的发展过程，又培养了学生严密的逻辑思维能力。

总之，如何进行数学概念的教学对于我们数学教师来说，永远都值得研究，同时在新课标的要求下，概念教学应该更加形式多样化，要使教师成为学生学习能力的培养者，成为学生学习的激发者，辅导者，帮助学生“学会学习”和掌握知识。（责任编辑 刘永庆）