搭建桥梁 妙破数列顽症

【前言】搭建桥梁 妙破数列顽症由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。突破之道 （1）熟悉处理等差（比）数列的基本方法，如通项法、递推法等；（2）熟记等差（比）数列的性质． 例1已知两个等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是（） A. 2B. 3 C. 4 D. 5 解析：此题目主要是通过An和Bn的关...

数列是高中数学的重要内容，又是初等数学与高等数学衔接的桥梁． 数列既有相对的独立性，又与其他知识广泛联系，是高考命题重点之一． 不少同学由于对有关知识点掌握不好，导致对数列问题没有系统的分析方法，对与数列有关的试题心里没底，从而对数列问题产生恐惧心理． 本文针对同学们平时学习数列时存在的弄不懂、记不住、易出错、用不活的症状，结合近几年各地高考卷与模拟卷中的一些典型数列试题，演示若干实用的技巧，并给出突破症结的建议．

症状一 ＞＞

“桥墩”的构建切不住重点

表现对一些等差（比）数列基础试题，要么做不出，要么做出了却耗时太多．

症结数列基础性试题往往要求灵活运用等差（比）数列的定义及性质．

突破之道 （1）熟悉处理等差（比）数列的基本方法，如通项法、递推法等；（2）熟记等差（比）数列的性质．

例1已知两个等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是（）

A. 2B. 3 C. 4 D. 5

解析：此题目主要是通过An和Bn的关系找到的关系，可以应用等差数列的性质解决．由＝得＝，而A2n-1＝（2n－1）・an，B2n-1＝（2n－1）bn，代入上式化简得＝7＋（n∈N+），易验证当n＝1，2，3，5，11时，取整数，所以选D．

症状二 ＞＞

难以搭建“桥梁”

表现对常见形式稍加变化便无从下手、心慌意乱．

症结对讨论过的一些基本方法（用方程思想处理基本“元”；用函数图象研究数列单调性；用叠加法、叠乘法处理通项；用逆向相加、错位相减等方法处理求和）未能灵活地迁移、熟练地运用．

突破之道尝试对相关的内容（等差、等比通项公式，求和公式及常见的处理方法等）自主推导，并体会这些内容在解题过程中所蕴含的方法技巧． 如果有相关的感悟，应及时记下自己的感悟，并尝试将自己的想法系统化、规范化.

例2一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（）

A. 22B. 21C. 19D. 18

解析：本题是教材例题的变式，关键是处理基本“元”． 依照已知条件只能列出3个方程，而所列出的三个方程涉及四个未知数，进而思维受阻，无法进展下去，出现“桥梁”断链． 已知条件在数列中具有一定的对称性，所以若考虑将a1＋an作为一个整体，问题就迎刃而解. 设该数列有n项且首项为a1，末项为an，公差为d则依题意有5a1+10d=34，（1）

5an-10d=146，（2）

・n=234. （3）由（1）（2）可得a1＋an＝36，并代入（3）得n＝13，从而有a1＋a13＝36． 又所求项a7恰为该数列的中间项，所以a7＝＝18． 故选D．

症状三 ＞＞

难以构建“通项”的桥梁

表现由“递推”求“通项”难于下手，找不到突破口．

症结对典型递推式的认识缺乏系统总结．

突破之道归纳总结常见递推式的变形技巧，并有意识地应用变形技巧构造基本数列． 对于递推式，一般会用叠加或叠乘的方法；形如an＝pan-1＋q递推求“通项”，一般先找到一个适当常数c，构建基本数列｛bn｝（bn＝an－c，以p为公比的等比数列），且易通过待定系数的方法求出c；形如an+1=kan+f（n）的递推式，需要将f（n）分多项式形式和指数形式分别掌握；形如an=k・型，应该考虑引入数列｛bn｝，bn＝，然后通过数列｛bn｝研究数列｛an｝；数学归纳法也是获得通项常见的方法．

例3（1）已知数列｛an｝满足a1＝5，an+1＝－2an＋6，求数列｛an｝的通项an.

（2）数列｛an｝满足a1＝2，而且an+1＝，求数列｛an｝的通项．

解析：（1）属于 “突破之道”中的第二种类型，注意到an+1－2＝－2an＋4＝ －2（an－2），于是可直接引入数列｛an－2｝，首项a1－2＝3，公比为q＝－2的等比数列． 于是利用等比数列的通项公式得an－2＝3・（－2）n-1（n∈N+），即an＝2＋3・（－2）n-1（n∈N+）.

（2）属于“突破之道”中第四种类型，设bn＝，求倒数可得到bn+1＝bn＋，则bn－bn-1＝利用叠加法可以得bn＝1－，进而可得an＝．

症状四 ＞＞

缺乏对Sn与an的深刻思考

表现Sn＝f（an）或an＝g（Sn）型递推关系不知如何下手．

症结对适用于任意数列的重要关系式理解不清楚，未掌握其统一性的作用，进而不能灵活运用．

突破之道对于任意数列｛an｝有S1＝a1，Sn－Sn-1＝an（n≥2），这表明Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an（n∈N+）构成了一个新的数列｛Sn｝，它的通项Sn表示相应数列｛an｝的前n项和，它的第一项S1表示数列｛an｝的第一项a1，当n≥2时，数列｛Sn｝相邻项的差Sn－Sn-1＝an，这就是数列｛an｝与其和数列｛Sn｝之间最基本而又深刻的关系． 某些特殊数列可以围绕这两个数列通过适当变化（如裂项相消）以后求和，通过研究新数列｛Sn｝达到研究数列｛an｝的目的．

例4已知各项均为正数的数列｛an｝的前n项和Sn满足S1＞1，且6Sn＝（an＋1）・（an＋2），n∈N+，求｛an｝的通项公式．

解析：令n＝1，得6a1＝a＋3a1＋2，解得a1＝2（注意条件a1=S1＞1，舍去a1＝1）；若n≥2，则由6Sn＝（an＋1）（an＋2）得6Sn-1＝（an-1＋1）（an-1＋2），n≥2． 两式相减得6an＝（an＋1）（an＋2）－（an-1＋1）（an-1＋2），n≥2，整理即得（an＋an-1）（an－an-1）＝3（an＋an-1）. 由题意有an＞0（n∈N+），an－an-1＝3（n≥2）． 于是数列｛an｝是以2为首项，3为公差的等差数列，则an＝3n－1（n∈N+）．

注:对于一般数列{an}，若已知条件为Sn＝f（an），求通项an的方法，除了用“观察―发现―猜想―证明”的思维模式，还可以采用其他的处理方法． 由Sn＝f（an）首先推出S1＝a1＝f（a1），解出S1＝a1的大小，接着常有两个思考方向． 当n≥2时，Sn＝f（Sn－Sn-1），问题转化为处理Sn与Sn-1（n≥2）的关系（前面已求出S1）. 求出Sn之后，可以用a1＝S1，an＝Sn－Sn-1（n≥2）求出数列｛an｝的通项． 利用递推关系作差的方法也常用，由Sn＝f（an）得Sn-1＝f（an-1）（n≥2），an＝Sn－Sn-1（n≥2），两式相减即得an＝f（an）－f（an-1），于是我们就把问题转化为处理an与an-1之间的关系了． 一般情况下，转化到单一的数列问题后就比较容易解决了．

症状五 ＞＞

不擅长跨知识板块

表现在解决数列综合问题时往往放弃不管或因为畏难而不敢下手．

症结对数列认识不足或者未理解数列中体现的数学思想．

突破之道从数学思想方面真正理解数列的实质，归纳数列与其他知识的结合点，熟悉常见知识板块的交汇点． 比如根据数列是离散的函数可以结合函数性质，再根据函数单调性结合不等式，将不等式与数列有机结合． 根据数列离散性质可以结合解析几何中的点、排列组合中的二项式等等．

例5已知二次函数y＝f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f ′（x）＝6x－2，数列｛an｝的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N+）均在函数y＝f（x）的图象上．

（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；

（Ⅱ）设bn＝，Tn是数列｛bn｝的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N+都成立的最小正整数m.

解析：（Ⅰ）本题已知条件包含了函数条件，可以将（n，Sn）（n∈N+）纳入函数范畴，使数列与函数有机结合，此为数列与函数结合起来的常见途径． 可设出二次函数f（x）＝ax2＋bx（a≠0），则f ′（x）＝2ax＋b，由于f ′（x）＝6x－2，得a＝3，b＝－2，可以得到f（x）＝3x2－2x. 由于点（n，Sn）（n∈N+）均在函\高中数学金刊12期\金.tif>