复合函数求导法的教学剖析与例题设计

【摘要】本文对复合函数求导法的教学进行了剖析，依据基本初等函数，精心设计了5组例题，并对例题的教学使用做了阐述，提高了复合函数求导法的教学质量.

【关键词】复合函数求导法；教学；剖析；例题设计

一、对复合函数求导法的剖析

函数求导法则中复合函数求导法，除本身就是一种重要的求导方法外，也是推出其他求导法的基础（如隐函数求导法、对数求导法等）.从复合函数求导法的使用来看，由于中间变量的数量可以涉及多个，而且选择灵活性大、技巧性强，具体的解题过程还常常隐去中间变量的书写，所以，复合函数求导法是整个函数求导法的重点和难点.

1.复合函数求导法的核心关键词――“中间变量”

①中间变量的选择.准确选择中间变量，把复合函数“分解”为基本初等函数，是使用复合函数求导法的前提，也是关键所在.否则，就无法使用复合求导法求导；②中间变量数量.复合函数的中间变量多数情况下可能多于一个，即复合关系有多层；③中间变量的书写.初学时需要明确写出中间变量，采取不用连续等号表示的解题过程；当比较熟练后（特别是有多个中间变量时），解题过程却是采用不直接写出中间变量、用连续等号表示的“实用形式”；④使用复合函数求导法的同时可能还涉及其他的求导法则.如求函数y=2xsinx2的导数就涉及乘法法则、求函数y=ln（x+x2+1）的导数中，在对中间变量u=x+x2+1求导时就涉及了加法法则.

2.例题设计存在的主要问题

例题的设计直接影响着教学的质量，目前复合函数求导法的教学例题普遍存在着以下问题：①例题设计没有很好的体现基本初等函数的作用.目前教材中例题的呈现形式是多种函数类型、单个中间变量与多个中间变量、写出中间变量和不写出中间变量三种知识方法相互掺杂，客观上增加了学习的难度.②教学的条理性、层次感体现的不够.复合函数求导法的教学，分为只有一个中间变量的基础层次和多个中间变量的熟练层次.③数学的思想和方法体现不够.复合函数的求导，就是将其转化为基本初等函数的求导，要通过例题的示范，渗透化归、类比等重要的数学思想和方法.

二、例题设计与呈现次序

经过多年的教学探索，我们按照基本初等函数的呈现次序，围绕中间变量的选择这个核心，将整个教学过程分解为“基础”与“熟练”两个层次，设置下列5类例题.

求下列函数的导数：

例1 幂函数系列

三、五组例题的使用

1.单组例题用于“初级”层次的教学

“初级”层次的教学目标是：依据基本初等函数的类型，使学生能准确的选择中间变量，在使用法则求导、还原变量并化简的基础上，逐渐由明确写出中间变量的“分析解题表示”过渡到不明确写出中间变量“实用形式”，基本掌握复合求导的思想和方法，形成思维定势.

①预前知识的复习与教学引入.对基本求导公式进行拓展变形，为复合函数的求导法做好铺垫.将基本求导公式中自变量的表示符号x换写为字母u，t，v等，突破只用字母x表示自变量的思维定势.

②例题的使用

1）例1 既用于法则的引入，也用于幂函数系列中间变量的确定.先让学生思考，然后师生共同分析：（1）中的函数y=x+1可以使用加法法则求导，而y=（x+1）2，y=（x+1）3，可以按多项式的展开后使用加法法则求导；但y=（x+1）4与y=（x+1）n的求导那？随着次数的增高，再用展开法就显得比较麻烦，更重要的是没有解法上的创新.分析这两个函数的结构发现（以y=（x+1）n为例），只要令u=x+1，则函数y=（x+1）n就是y=un与u=x+1构成的复合函数，而y=un与u=x+1都是基本初等函数，其导数易求的（或者是已知的），那么y=（x+1）n的导数与y=un，u=x+1的导数有何关系？这种情境式的引入方式，不仅起到引入复合函数求导法的作用，重要的是让学生体会复合函数求导法能起到化繁为简、化难为易的目的，渗透化归的数学思想和方法，通过师生互动，对形如y=[φ（x）]α（α≠-1）的幂函数，如何求导、如何选择中间变量，学生很快就能掌握（要板书呈现求解过程）；

2）例2用于进一步熟悉中间变量的确定规律.通过分析与引导，学生很快就能掌握形如y=eφ（x）或y=aφ（x）中间变量的选择方法以及类似复合函数的求导问题；

3）例3―例5用于教师指导下的学生探索，进一步掌握中间变量的确定规律以及公式的使用.在前两个例题讲解的基础上，教师加以适当的引导与提示，通过类比，学生很快就能解决例3―例5中函数中间变量的选择方法及求导.

以上5组例题，紧扣基本初等函数，只有一个中间变量，重点突出，便于总结规律，形成思维定势；从教学方法上看，讲练结合，学生有思考和动手的机会，较快的完成初级层次的教学目标，为熟练层次的教学做好准备.

小结如下：

4）拓展提高.涉及两个方面：一是对上述例题的拓展变形，比如将正弦函数换成余弦函数、切函数、割函数又该如何选择中间变量？也可以引导学生将u=φ（x）替换为其他的表达式（替换与求解过程可交给学生作为练习，既节省课堂时间，提高效率，又锻炼学生的能力）；二是将写出中间变量的解题过程转化、换写为不写出中间变量的表达形式，熟练掌握只有一个中间变量时的求导.

2.不同例题的组合用于熟练层次的教学

“熟练”层次的教学目标是：要求学生面对多个中间变量的复合函数，突破第一层次的定势思维，形成变势思维.能针对不同类型的复合函数，用不写出中间变量的“实用形式”，准确、熟练的使用复合函数的求导法则.为达到这个目标，突出本层次的教学重点，需要对例题进行调整：①例题的组合使用.以前面的5类例题为基础，适当组合、搭配，构造出多个中间变量的复合函数，用以熟练层次的教学.如将例2的函数y=ex+1的指数x+1替换为例1中函数y=（2x+1）2即可得到y=e（2x+1）2，这就是一个具有两个中间变量的复合函数.这样做的优点是：以前面的教学为基础，淡化计算，突出重点，不因复杂的计算和化简干扰多个中间变量的选择以及使用法则求导.②适当补充新例题.为形成变势思维，真正掌握复合函数求导法的思想，可以重新设计部分新例题（或习题），用于结合其他的求导方法.如：求函数y=2xsinx2、y=ln（x+x2+1）的导数，等等（在此略）.

总之，如何进行例题设计用于教学，是一个值得我们探讨的问题.我们设计的5类例题，相互衔接、循序渐进.单组使用可以培养思维定势；组合使用可以培养变式思维，对提高复合函数求导法的教学质量，效果良好.

【参考文献】

[1]吴维峰.高等数学[M].北京：中国轻工业出版社，2013.

[2]张通.关于复合函数求导法则的证明问题[J].高等数学研究，2009年05期，61-63.

[3]干洪英.复合函数求导法的教与学.教育界：高等教育研究（下）[J].2011年03期152-153.