中学物理解答限制性三体问题的讨论

一、问题的提出

有心力作用下的三体问题（three-body problem）是物理学的难题，但一些特殊情况的三体和限制性三体问题也常出现在中学物理习题中.本文通过两道高考题的分析，提出限制性三体在特定参考系中转化为中学物理问题的条件和结论.

高考试题一：（2008年全国卷Ⅰ第17题）已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为（ ）

A.0.2 B.2 C.20 D.200

本题标准答案是B. 解答过程如下：设太阳质量为mT、月亮质量为mY、地球质量为mD，月地距离为r，日地距离为R.

对地球、太阳系统：G=mD（）2R （1），

对地球、月球系统：G=mY（）2r （2），

可得：=（）3・（） （3）.

由万有引力定律F=G可得：

=・（）2（4），

（3）、（4）联立并由TY=27天、TD=365天得：

=・（）2≈2，所以B正确.

高考试题二：（2008年广东卷第12题）如图1是“嫦娥一号奔月”示意图.卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测.下列说法正确的是（ ）

A. 发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度

B. 在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关

C. 卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比

D. 在绕月轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力

本题标准答案是C.解答过程如下：第三宇宙速度是人造卫星脱离太阳系的速度，所以A错误；设月亮的质量为mY，卫星质量为m0，卫星绕月圆轨道半径为r，由

G=mD（）2r （5），

知卫星周期与卫星质量无关，所以B错误；由万有引力定律，显然C正确；对于D选项的分析是若卫星受地球的引力大于受月球的引力，就不会绕月球做圆周运动了，所以D错误.

比较这两道高考题，我们感到题一中正确的B选项和题二错误的D选项似乎矛盾. 对于题一提出的问题是：既然太阳对月球的引力大约是地球对月球引力的2倍，月球怎么会绕地球做圆周运动？对于题二提出的问题是：嫦娥一号在轨道上受地球的引力小于受到的月球引力是其实现绕月运行的条件？

二、问题的讨论

上述两道高考题的情景实际上属于天体力学中的三体问题，有心力作用下的三体问题，大都要用计算机求解.如果有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比，小到可以忽略时，这样的三体问题称为“限制性三体问题”.一般地，把这个小质量的天体称为无限小质量体，或简称小天体；把两个大质量的天体称为有限质量体.对于“限制性三体问题”，由于忽略小质量的天体对其他天体的引力，三体问题也就转化为两体问题了.如图2所示，我们现进一步将问题理想化为在有心力作用下的同一平面内的天体圆周运动问题.上述两道高考题并不涉及轨迹的计算，只涉及非惯性系中的动力学方程的正确表达.

取M为参考系：设m（含m0）绕质心C运动的周期为T，轨道半径为r2，则有：

G=ma=m（）2r2 ，r2=R，

a=（）2r2 =G （6）.

取m为参考系：如图3所示，m0受到三个力的作用：

m的引力 F=G；

M的引力F1=G；

惯性离心力 F2=m0a=m0（）2r2 =G.

设m0绕m的运动周期为T0，轨道半径为r，向心加速为a0，对m0有：

G-G+G=m0a0 （7），

当R?r时，有F1≈F2，（7）式可简化为：

G=m0a0=（）2r，事实上当R?r时，在m0运动的整个圆周上也同样有F1≈F2，简化式在整个圆周上成立.

三、条件与结论

条件一：当M?m0、m?m0、R?r时，

结论一：m参考系可以看成是M不存在的孤立参考系，即可以看成是惯性系，在该参考系中可以独立地写出有关m0的动力学方程，m0在此参考系可以做匀速圆周运动.

如果有M?m，由（6）式可知，此时r2=R，所以上述条件结论可进一步转化为：

条件二：当M?m?m0及R?r时，

结论二：在M参考系中有：

G=m（）2R （8），

在m参考系中有：G=m0（）2r （9）.

所以在条件二下，三体问题才能转化为中学物理可解的理想化的天体圆周运动问题.

四、结论的运用

在题一中应用上述结论：日、地、月三体系统基本满足M?m?m0及R?r的条件，所以（1）、（2）两式近似成立，答案B正确.

在题二中应用上述结论：地、月、嫦娥一号三体系统，月球质量为地球的1/81，基本满足M?m?m0，地月间距离约R≈4×108米，嫦娥一号轨道高度约200千米，月球半径约1.7×106米，嫦娥一号轨道半径r≈2×106米，近似满足R?r的条件，所以题二解答中（5）式成立.对于题二中的D选项，事实上这是与题一中的B选项一样的问题，既然满足R?r，地球对嫦娥一号的引力和嫦娥一号受到的惯性离心力就相互平衡，嫦娥一号就可在月球参考系中做匀速圆周运动，这时地球对嫦娥一号的引力的大小已经和嫦娥一号是否能绕月做圆周运动无关了.事实上可以由万有引力定律求得嫦娥一号受到的月球引力FY和地球引力FD之比：=・（）≈・（）2≈，所以D选项确实是错误的，但解答中认为卫星受地球的引力大于受月球的引力就不会绕月球做圆周运动了的分析方法是错误的.而且这里得到的比值在题设条件中是无法求得的，所以D选项出现在本题中显得命题不妥.

综上所述，涉及三体问题时高中物理常用的（8）、（9）两式是有条件的.需要说明的是本文没有对M?m?m0及R?r两个条件进行严格的数学推算，没有给出“远大于”的具体数学范围，因此我们这里的条件和结论都是定性的，但对高中物理的命题有指导意义.

参考文献：

[1] 易照华，等. 天体力学引论[M]. 北京：科学出版社，1978.