改进UKF算法及其目标跟踪性能研究

摘要：研究了Unscented变换的基本原理及UKF算法。为了降低跟踪系统计算的复杂性，在Unscented变换中，通过引入单位矩阵,以简单的数值计算取代复杂的矩阵分解求解矩阵平方根的过程，把UKF改进为FMSRUKF。通过对三维坐标系下作变加速运动目标的跟踪仿真，结果表明FMSRUKF有更好的精度和鲁棒性。

关键词：跟踪； Unscented变换； UKF； FMSRUKF

中图分类号：TN957.5134文献标识码：A文章编号：1004373X(2011)23000403

Research on Improved UKF Algorithm and Its Target Tracking Performance

CHEN Weiheng, ZHAO Yihuan

(China Airborne Missile Academy, Luoyang 471009, China)

Abstract： The principle of Unscented transformation and UKF (Unscented Kalman Filter) algorithm are studied. To simplify computational complexity of the tracing system, identity matrix was introduced into the Unscented transformation, and the complicated matrix calculation was replaced by simple numerical calculation for solving matrix square root, that is UKF algorithm was improved into FMSRUKF (Fixed Matrix Square Root Unscented Kalman Filter). The simulation results of variably accelerated motion target tracing under three dimensional coordinate show that FMSRUKF achieves better precision and robust.

Keywords： tracking; Unscented transform; UKF; FMSRUKF

收稿日期：20110615非线性滤波问题中最优解法需要得到条件后验概率的完整描述才能够求解［1］，但这种精确描述需要大量参数而且无法实际应用［2］。非线性滤波问题有两种次优近似解决方法：一种是 EKF［3］(Extended Kalman Filter,扩展卡尔曼滤波),忽略高阶项，线性逼近非线性状态；另一种是 UKF［4］(Unscented Kalman Filter,Unscented变换卡尔曼滤波),采样逼近非线性分布。EKF存在精度低，计算涉及Jacobian矩阵等不足之处，限制了EKF的应用［1］。UKF是以Unscented变换为基础，通过采样方式达到更精确逼近状态分布的滤波方法，具有精度高，无须计算Jacobian矩阵等优点。随着研究的不断深入，UKF的应用范围也在不断得到扩展。本文在研究UKF算法基础上，提出了一种根据系统特性简化Unscented变换的改进UKF算法，该算法提高了系统精度和鲁棒性。

1系统模型

对观测站和运动目标在同一平面内的跟踪问题展开算法的应用讨论。对于三维目标定位时可以应用同样的方法。测量模型如图1所示。

设运动目标所在的平面是以测量站为坐标原点的二维坐标系。目标以速度矢量在平面内运动，在某一时刻t1位于点P1(x1,y1)，在下一时刻t2位于点P2(x2,y2)。在t1,t2两时刻，测量站可以测得目标距站距离ρ1,ρ2以及它们相对于x轴的夹角θ1,θ2,且在某一观测时刻有如下计算关系：ρ=x2+y2

θ=arctanyx(1)目标不同时刻间的坐标(x,y)变化不仅包含了每一时刻所处的位置信息，而且还包含了速度以及加速度的大小。测量值(ρ,θ)与对应时刻的坐标(x,y)之间有式(1)所示的非线性转化关系。根据连续测量到的某一时间段的若干(ρ,θ)值，可以掌握目标的完备运动状态信息。直接测量得到(ρ,θ)不可避免地会混有各种噪声。于是，如何减小噪声的影响，从而得到较为精准的目标位置信息就成为滤波算法应用的直接目的。

2Unscented变换及UKF算法流程

Unscented变换是一种计算随机变量在经历非线性变换后的统计特性的方法。通过一个非线性函数y=f(x)，对L维的随机变量x进行非线性传播。记x的均值和方差为x和Px。根据式(2)：χ0=x

χi=x+((L+λ)Px)i，i=1,2,…,L

χi=x－((L+λ)Px)i－L，i=L+1,L+2,…,2L (2)

图1测量模型得到2L+1个矢量χi(Sigma点)，组成矩阵χ。

式(2)中λ=α2(L+k)－L，λ是一个尺度参数，取一个较小的值；常数α决定这些矢量在点x附近扩展范围，一般取10－4≤α≤1；k是另一个尺度参数，通常取0； ((L+λ)Px)i为矩阵平方根的第i列。对式(2)所获得的矢量点χi通过式(3)非线性函数f(•)进行非线性传播，得到变换后的矢量点Yi：Yi=f(χi),i=0,1,2,…,2L(3)利用加权样本值均值和协方差逼近系统输出y的统计特性Y，Py:Y≈∑2Li=0wmiYi

Py≈∑2Li=0wci(Yi－Y)(Yi－Y)T (4)其中:wm0=λ/(L+λ)

wc0=λ/(L+λ)+(1－α2+β)

wci=wmi=1/［2(L+λ)］,i=1,2,…,2L (5)且满足∑2Li=0wmi=1，∑2Li=0wci=1。α同式(2)中λ中参数，β包含x分布的先验信息,在高斯分布下β=2。

这种以Unscented变换为基础的统计特性传播方式应用到Kalman滤波中，即是UKF。具体计算过程如下［47］：

设非线性系统状态方程和观测方程为：xk+1=Axk+uk

zk=H(xk)+wk (6)式中:A为状态转移矩阵;H(•)为观测矢量转换矩阵;uk为过程噪声高斯白噪声序列;wk为观测噪声，也设为高斯白噪声序列。

(1) 滤波初始化xE=E［x0］

P0=E［(x0－xE)(x0－xE)T］ (7)式中：E［•］代表取矩阵均值。

(2) 根据式(2)进行Unscented变换，得到Sigma点χi，i=0,1,2,…,2L。

(3) 计算状态矢量矩阵yk|k－1(i)=Aχi,i=0,1,2,…,2L(8)(4) 预测状态均值和方差xE(k|k-1)=∑2Li=0wmiyk|k-1(i)

P(k|k-1)=∑2Li=0wci［yk|k-1(i)-xE(k|k-1)］•

［yk|k-1(i)-xE(k|k-1)］T+Q(9)式中Q为系统噪声协方差矩阵。

(5) 预测测量采样点Vk|k－1(i)=H［yk|k－1(i)］,i=0,1,2,…,2L(10)(6) 预测测量值方差及其与状态矢量的协方差zE (k|k-1) = ∑2Li = 0wmi Vk|k-1 (i)

Pzz = ∑2Li = 0wci［Vk|k-1 (i)-zE (k|k-1)］•

［Vk|k-1 (i)-zE (k|k-1)］T+Rn

Pxz=∑2Li=0wci［yk|k-1(i)-xE(k|k-1)］•

［Vk|k-1(i)-zE(k|k-1)］T(11)式中Rn为测量协方差矩阵。

(7) 计算UKF增益、更新状态矢量和方差矩阵W=PxzP-1zz

xE(k|k)=xE(k|k-1)+W［z(k)-

zE(k|k-1)］

P(k|k)=P(k|k-1)-WPzzWT(12)式中z(k)为观测值。

3对UKF的改进

UKF的计算以Unscented变换得到χi点为基础，而每一次Unscented变换都要进行MMSE(最小均方误差)矩阵的矩阵平方根((L+λ)Px)i的获取。矩阵平方根可以通过下三角Cholesky分解等矩阵三角分解算法获得，矩阵的三角分解计算量相当于作一次高斯消去过程的计算量，大约L3/3次计算［8］(L为矩阵维数)。每一次滤波迭代都要进行此种计算，无疑要占用大量计算资源，拖延整个UKF计算周期，降低了系统时效性。为此，在研究系统特性基础上提出FMSR(Fixed Matrix Square Root,固定矩阵平方根)算法以简化χi点获取方法。

在矩阵(L+λ)Px中，对于特定系统(L+λ)为定值，Px携带状态分布信息，随系统模型确定而确定，在每次迭代进行时会随统计特征的变化而更新。实验发现：Px主队角线元素携带状态向量主要信息；其对角线各元素随滤波进行，能快速稳定收敛，此后只在此收敛值附近有微小的波动。波动反映了单次计算统计规律的变化，但是此种波动较小，可以看作是系统分布规律的高阶影响。忽略此高阶影响对计算结果不会有显著影响。于是，在掌握系统分布特性的基础之上，设置能够替代(L+λ)Px矩阵反映状态向量分布特性的确定矩阵σI，其中σ为由(L+λ)Px对角元素确定的一个常数，I为与Px同形的单位矩阵。

记Ii为I的第i列，则I=［I1,I2,…,IL］，i=1,2，…,L。 Ri=(σI)i为矩阵σI的矩阵平方根第i列。由于I是单位矩阵，所以Ri=σIi，i=1,2,…,L。计算一次σ即可求得矩阵平方根Ri，可省去约FL3/3次L×L维矩阵的三角分解过程(F为滤波次数)，降低了计算复杂性。改进后， 式(2) 变为：χ0=x

χi=x+σIi,i=1,2,…,L

χi=x－σIi－L,i=L+1,L+2,…,2L (13)以此Sigma点为基础进行UKF计算即构成FMSRUKF。

4仿真验证

为了验证FMSRUKF在本文跟踪模型中的应用效果，分别在模型中应用UKF，MAUKF\[9\]，FMSRUKF三种方法进行数据仿真。

初始位置［x(t0),y(t0)］T=［50,200］T m；初始速度［vx(t0),vy(t0)］T=［2,2］T m/s；加速度［ax,ay］T=［0.01,0.015］T m/s2；距离测量误差为服从均值为0,方差为0.1的高斯分布。采样间隔为1 s。式(13)中σ取10－5。分别计算UKF，MAUKF，FMSRUKF的估计误差,仿真结果如图2，图3所示。

图2x轴向误差对比图3y轴向误差对比由图2,图3可以看出，FMSRUKF在精度和鲁棒性上均优于MAUKF和UKF。

5结论

通过一种简化Unscented变换构成FMSRUKF。省去了用矩阵分解方法求解最小MSE矩阵中矩阵平方根的过程，优化了滤波计算。通过系统建模仿真验证，FMSRUKF在简化UKF计算的基础之上，能进一步提高系统的精度和鲁棒性。

参考文献

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［10］孙宇,薛斌党.基于IMMUKF的转弯机动目标跟踪\[J\].现代电子技术，2009,32（12）：8184.

作者简介： 陈伟衡男，1982年出生，河南人，硕士，助理工程师。主要研究方向为目标跟踪技术。

赵毅寰男，1982年出生，河南人，博士，工程师。主要研究方向为目标跟踪技术。