解读圆周运动

匀速圆周运动是一种典型的曲线运动，其运动学特征为：线速度大小、向心加速度大小不变，但方向时刻改变，故匀速圆周运动为变速运动且是非匀变速运动. 学习的重点是弄清楚描述圆周运动的各个物理量间的关系，会分析向心力的来源以及向心力与向心加速度的关系，掌握相关的临界问题、多值问题的处理技巧.

■ 1. “圆”的角度

匀速圆周运动的运动轨迹是圆或圆的一部分. 描述匀速圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、频率、转速等. 要掌握描述匀速圆周运动的物理量之间的关系运算.

（1） 线速度

① 大小：v=■（s表示t时间内通过的弧长）

② 方向：沿圆周轨迹的切线方向且时刻改变.

③ 物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢.

（2） 角速度

① 大小：ω=■（θ为t时间内通过的圆心角）

② 物理意义：描述质点绕圆心运动的快慢.

（3） 周期、频率、转速

① 周期：做圆周运动的物体运动一周所用的时间.

② 频率：单位时间内做圆周运动的圈数.

③ 转速：单位时间内转过的圈数，常用n表示.

（4） 各物理量之间的相互关系

v=■=ωr=2πr f ，ω=■=2π f =2πn.

■ 例1 如图1所示的皮带传动装置中，右边两轮是在一起同轴转动，图中A、B、C三轮的半径关系为RA＝RC＝2RB，设皮带不打滑，则三轮边缘上的一点线速度之比vA ∶ vB ∶ vC＝______，角速度之比ωA ∶ ωB ∶ ωC＝______.

■ 解析 本题考查的是线速度、角速度和半径之间的关系，A和B是由皮带带动一起运动，皮带不打滑，故A、B两轮边缘上各点的线速度相等. B、C在同一轮轴上，同轴转动，角速度相等，但是由于离转轴的距离不同，由公式v＝ωR可知，B与C两轮边缘上各点的线速度不相等，且C轮边缘上各点的线速度是B轮上各点线速度的两倍. A轮和B轮边缘上各点的线速度相等，由公式v＝ωR可知，它们的角速度与它们的半径成反比，即ωA ∶ ωB＝RB ∶ RA＝1 ∶ 2.

由上述分析可知：vA ∶ vB ∶ vC＝1 ∶ 1 ∶ 2，ωA ∶ ωB ∶ ωC＝1 ∶ 2 ∶ 2.

拓展 在通常情况下，同轴的各点角速度ω、转速n和周期T相等，线速度v＝ωr，即与半径成正比. 在认为皮带不打滑的情况下，传动皮带和与皮带接触处以及与皮带连接的轮边缘上各点的线速度大小相等，由ω＝v/r可知，角速度与半径成反比.

高中阶段所接触的传动主要有：（1） 皮带传动（线速度大小相等）；（2） 同轴传动（角速度相等）；（3） 齿轮传动（线速度大小相等）；（4） 摩擦传动（线速度大小相等）.

■ 2. “周”的角度

圆周运动的基本特征之一是周期性，即在运动的过程中，物体的空间位置具有时间上的重复性. 圆周运动的这一特点决定了有些圆周运动问题的解不是单一解，而是系列解，也称为多解.

■ 例2 如图2所示，在半径为R的水平圆板中心轴的正上方高h处水平抛出一小球，圆板做匀速转动，当圆板半径OB转到与小球初速度方向平行时（图示位置），开始抛出小球，要使小球与圆板只碰一次，且碰撞点为B，求：

（1） 小球的初速度大小；

（2） 圆板转动的角速度大小.

■ 解析 （1） 小球在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，则落到盘上的水平分速度为v0，竖直方向根据自由落体运动规律h=■gt2可以求出t，即小球下落的时间t=■，水平方向v0t=R（匀速运动公式） ，那么初速度v0=■=R■.

（2） 求角速度的时候还应该有个条件：那就是小球抛出圆盘转了几圈后，小球正好落到B点，如果正好转一圈落到B点的话，那么根据角速度公式：ω=2π/t，把第一步求的t代入，那么ω就求出来了.

ω=■如果是转了n圈小球与圆盘相碰，则有ωt=2πn（n=1，2，3……）把t代入可得ω=2πn■（n=1，2，3……）

■ 点评 在分析圆周运动与其他运动相联系的问题中，首先必须根据圆周运动的周期性这一特点判断其是否是多解问题. 如果是多解问题，必须寻找各种可能解所需满足的条件，进而得出通解的一般表达式.

■ 3. “力”的角度

掌握做圆周物体的受力分析，找到向心力的来源.

（1） 向心力

① 定义：做匀速圆周运动的物体受到的合外力.

② 作用效果：产生向心加速度，不断改变物体线速度的方向，维持物体做圆周运动.

③ 方向：总是沿半径指向圆心，且方向时刻改变，所以向心力是变力.

④ 大小：Fn=man=m■=mω2r=m■2r=mvω.

⑤ 向心力是从力的作用效果来命名的，是一种效果力.

注：以上一系列向心力的表达式，构成研究向心力问题的基础.

（2） 向心力的来源问题是考查的重要内容. 向心力可以由几个力的合力、某一个力的分力或某一个力来提供. 它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质力提供. 对向心力的理解应注意两点：

① 匀速圆周运动中，速度方向时刻变化而大小不变，只存在向心加速度，所以物体受到合外力就是向心力. 可见，合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，是物体做匀速圆周运动的条件.

② 变速圆周运动中，合外力大小不仅随时间改变，其方向也不沿着半径指向圆心. 合外力沿半径方向的分力提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小.

■ 例3 如图3所示，将一质量为m的摆球用长为L的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆，则关于摆球的受力情况，下列说法中正确的是

（ ）

A. 摆球受重力、拉力和向心力的作用

B. 摆球受拉力和向心力的作用

C. 摆球受重力和拉力的作用

D. 摆球受重力和向心力的作用

■ 解析 我们在进行受力分析时，“物体受到哪几个力的作用”中的力是指按照性质命名的力，显然，物体只受重力G和拉力FT的作用，而向心力F是重力和拉力的合力，如图4所示. 也可以认为向心力就是FT沿水平方向的分力FT 2，显然，FT沿竖直方向的分力FT 1与重力G平衡. 所以，本题正确选项为C.

■ 拓展 常有同学错误选择A，即认为摆球除了受到重力G、拉力FT外，还受到一个向心力F的作用. 其错误在于忘了向心力是物体做匀速圆周运动时受到的合力，是按效果命名的力，而不是按性质命名的力，可想而知，如果把向心力当做一个额外的力，认为小球受三个力的作用，显然与物体的实际受力情况相矛盾，即相当于把物体受到的力都计算了两遍，是完全错误的.

■ 思维总结 做匀速圆周运动物体需要向心力，向心力来源于合外力，对物体受力分析找出合外力是解决问题的关键.