增强数学应用的意识,提高数学应用的能力

“认识数学的应用价值，发展数学的应用意识，形成数学应用的能力”是新课程的基本理念和重要目标之一，为了体现新课程的理念和要求，近几年的高考数学命题，常以旅游、环保、人口、经济、安全、资源等社会热点问题为背景，命制贴近课本、贴近生活的实际应用题，考查运用数学知识解决简单实际问题的能力。因此，在高考复习中，关注社会热点问题，提高数学应用能力是一个需要致力解决的问题。下面，以直线与圆的方程为例，作一些剖析和探究，供同学们参考。

一、 合理利用土地资源

【背景材料】 据新华社北京10月29日电，国土资源部强调指出：各地要科学分解并层层落实《全国土地利用总体规划纲要（2006―2020年）》确定的土地利用主要指标，尽快组织完成地方各级土地利用总体规划的修编工作，坚决防止通过规划修编减少耕地保有量、减少基本农田保护面积。

【命题分析】 为了解决好人民群众的住房需求和保护土地资源的矛盾，利用好每一寸土地，是我们必须认真考虑的问题，数学知识在这里可充分发挥其功能，将大有作为。以此为背景设计数学试题，会受到命题者们的普遍青睐。

【试题设计】 如图1所示，某房地产开发公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形地面建造一座“安居保障房”，问：如何设计，才能使其占地面积最大（精确到1个单位）？

解析 “安居保障房”占地面积随矩形形状而变化，而矩形形状又随矩形顶点位置而变化，其中一个顶点在线段AB上变动，可通过建立直角坐标系，运用直线的方程来解决．

如图2所示，以直线BC,AE分别为x轴,y轴建立直角坐标系，则直线AB方程为x30+y20=1．

再设点P(x,y)为线段AB上任意一点，由直线AB的方程，得y=20－23x，则划出的长方形土地面积为:S=(100－x)80－20－23x

=－23(x－5)2+6 01623(0≤x≤30)，

故当x=5,y=20－23x≈17时，Smax≈6 017．

所以，当点P选在线段AB上且距AE的距离为5 m处时，所划出的长方形土地可使“安居保障房”的占地面积最大．

点拨 这里，运用直线方程的知识，先将点P看作变量，再将占地面积转化为以点P的“横坐标”为自变量的函数，比通常直接设某个变量为自变量建立函数关系，表面上看起来要曲折一些，但思路新颖，解题过程也很简捷，体现了解析法在解决实际问题中的妙用。

二、 科学解决交通拥堵

【背景材料】 中广网北京12月12日消息:为进一步缓解北京交通拥堵，方便广大市民出行，北京市治理交通拥堵综合措施13日起开始征求民意。据悉，缓解交通拥堵综合措施主要包括六个方面：完善规划、疏解中心城功能和人口；加快道路交通基础设施建设；加大优先发展公共交通力度；改善自行车步行交通系统和驻车换乘条件；进一步加强机动车管理；提高交通管理和运输服务水平等。

【命题分析】 交通拥堵的问题，是现代化城市建设过程中普遍遇到的难题，是城市化、现代化进程中多种矛盾的集中体现，缓解交通拥堵刻不容缓，是城市发展中的一项长远而重要的任务。解决交通拥堵问题的途径很多，例如扩建公路、地铁、高架桥，提高现有交通设施的利用效率等等，而这些都离不开数学知识，因此，势必受到高考数学命题专家的关注。

【试题设计】 某市现有自市中心O通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决该市交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路．分别在正西和东北方向的公路上选取A,B两点，使环城公路在A,B间为直线段，要求AB环城路段与市中心O的距离为10 km，且使A,B间的距离最小．请你确定A,B两点的最佳位置（不要求作近似计算）．

点拨 这是一道具有浓厚时代气息的试题，它给我们的启示是：高考数学复习一定要熟悉现实生活，关注社会热点问题。市场经济、住房改革、城市交通、节日旅游、铁路提速等等，都可作为题材进入高考试题。

春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。――吴玉章

三、 有效保障生命安全

【背景材料】 新华网北京10月10日电，民政部、国家减灾委办公室10日今年１至9月份全国自然灾害情况：经核定，1至9月份，各类自然灾害共造成全国4.8亿人次受灾，1 074人死亡（含失踪127人），912.7万人次紧急转移安置；农作物受灾面积3 382.6万公顷；房屋倒塌85.3万间，损坏308.2万间；直接经济损失3 028.1亿元。

【命题分析】 气候、环境的变化，自然灾害频发，对人民的生命和财产安全造成了极大的威胁，保障人民的生命财产，最大限度地降低地震、泥石流、海啸、台风、洪水等自然灾害的危害，显得愈来愈重要，成为广受关注的社会热点。围绕这样的热点问题，命制高考数学试题，应当引起我们的高度重视。

【试题设计】 如图4所示，在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ（锐角θ满足cosθ=210）方向300 km的海面P处，

并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

图4

解析 假设经t小时后，台风中心到达点Q，

此时台风的半径增大为QO，即城市O受到台风侵

袭．以城市O为原点，正东方向为x轴正方向建立

直角坐标系，在时刻t台风中心Q(x0,y0)的坐标为

x0=300×210－20×22t,y0=－300×7210+20×22t，

此时台风侵袭的区域为(x－x0)2+(y－y0)2≤［r(t)］2，其中r(t)=10t+60．若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有(0－x0)2+(0－y0)2≤［r(t)］2，

300×210－20×22t2+－300×7210+20×22t2≤(10t+60)2，即t2－36t+288≤0．

解之得12≤t≤24．

答：12小时后该城市开始受到台风中心的侵袭．

点拨 这是一个关于台风侵袭范围的问题，背景生动、真实，为人们所熟悉，解题入口宽，思路广，建模难度适中，这里运用解析法，借助圆的方程的知识来处理，体现了圆的方程在实际生活中的应用。

直线和圆是最简单、最常见的几何图形，它们与日常生活、生产实际中的问题有着十分广泛的联系，可以说俯拾皆是、随处可见，因此许多社会热点问题，都可作为背景，来设计实际应用问题，然后通过直线与圆的方程获得解决。本文列举的几种情形，只是沧海一粟，旨在抛砖引玉，许多其他方面的问题，希望同学们能自己去探究和开发。

但愿每次回忆，对生活都不感到负疚。――郭小川

1. 某市为了解决居民住房问题，在一河流同侧建了A,B两个居民安置小区，计划在河上建一水电站供两小区使用，已知A,B两个小区到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两小区相距500 m，问：水电站建于何处，送电到两小区的电线用料最省？

2. 在东西向的公路l上的点O处正北方向有以A,B两点为端点的一个地段．从公路上P处观察AB地段时，当∠APB越大时，观察效果越好．设OA=a,OB=b(a>b)，为取得最好的观察效果，试问观察点P应设在公路的何处．

3. 在气象台A处向西300 km处，有个台风中心，已知台风以每小时40 km的速度向东北方向移动，距台风中心250 km以内的地方都处在台风圈内，问：从现在起，大约多长时间后，气象台A处进入台风圈？气象台A处在台风圈内的时间大约多长？

【参考答案】

1. 视两小区A,B为两个点，小河为一条直线，原问题便转化为在直线上找一点P，使P到A,B两点距离和最小的问题，可通过建立直角坐标系，运用直线方程的知识求解．以河流所在直线为x轴,y轴通过点A建立如图5所示的直角坐标系，则点A(0,300)，B(x,700)，设点B在y轴上的射影为H，则x=BH=AB2－AH2=300，故点B(300,700)．

设点A关于x轴的对称点为A′(0,－300)，

则直线A′B的斜率k=700+300300=103，直线A′B的方程为y=103x－300．

令y=0，得x=90，得点P(90,0)，故水电站应建在河边的点P处，点P的坐标为(90,0)．

2. 以东西向公路所在直线为x轴，点O为坐标原点建立如图6所示的直角坐标系，则A,B在y轴上，且A(0,a),B(0,b)，不妨设点P在x轴的正半轴上，坐标P(x,0)(x>0)．

3. 如图7建立直角坐标系，B为台风中心，处在台风圈内的界线为以B为圆心，半径为250的圆内，若t小时后，台

风中心到达B1点，则可得点B1的坐标为：(-300+40tcos45°，40tsin45°)，

则以B1为圆心，250为半径的圆的方程为：

(x+300－202t)2+(y－202t)2=2502，

台风圈内的点应满足(x+300－202t)2+(y－202t)2≤2502．若气象台A处进入台风圈，那么A点的坐标就应满足上述关系式，把A点的坐标(0，0)代入上面不等式，得(300－202t)2+(202t)2≤2502，解得152－574≤t≤152+574，即为1.99≤t≤8.61；所以气象台A处约在2小时后进入台风圈，处在台风圈内的时间大约6小时37分．

（作者：钱军先，无锡市辅仁高级中学，教授级高级教师）