解析几何全通关完美领航

当天宫一号在太空中轻舞飞扬的时候，它曼妙的身姿在空中秀下优美的曲线。的确，高中教材中的圆锥曲线是既有美感又有数感的曲线，是解析几何研究的重点。从高考的角度来讲，解析几何是高中数学的核心内容，是高考命题的热点之一，是高考区分考生水平的重点载体，它的显著特点是用代数的方法研究解决几何问题，它的重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题。因此，解析几何问题一般伴有较为复杂的数式运算，对考生的运算能力有较高的要求。

【热点追踪】

分析近年的高考试题，对直线与圆的考查要求大大地提高，分值一直居高不下。由于圆的特有性质，所以圆具有很强的交汇性，可以直接或间接地综合出现在许多问题之中，试题主要呈现如下特点：通过利用平面几何的知识对问题进行转化，转化后再进行代数计算。因此，几何转化和代数计算成为解决直线与圆问题的基本方法。主要考查如下：直线方程和圆方程求解与应用，判断直线与直线、圆与圆、直线与圆的位置关系，过定点问题，与圆锥曲线的综合问题等。

与此同时，高考对圆锥曲线的要求有所降低，对直线与圆锥曲线的问题已很少涉及，但是椭圆的定义仍然非常重要，新型的圆锥曲线的试题主要呈现以下特点：①在曲线的准线、渐近线、离心率上做文章，围绕圆锥曲线的定义、性质、几何量的含义进行解题，主要考查处理有关问题的基本技能、基本方法；②椭圆处于更加突出的位置，几乎所有的解答题都会围绕椭圆展开，所以一定要掌握好椭圆中的“四线”：两条准线间的距离为2a2c，两条对称轴分别是长轴所在的直线和短轴所在的直线；掌握好椭圆中的“六点”：两个焦点间的距离为2c，四个顶点分别是椭圆与两对称轴的交点；掌握好椭圆中的几何特征量：椭圆的一个焦点、中心和短轴的端点构成一个特征三角形，满足a2=b2+c2；③与圆一同出现，特别是直线与圆的位置关系，其中直线与圆相切的内容更是常考内容。所以圆锥曲线经常与圆共舞，以此来考查直线与圆、圆锥曲线的定义、方程、几何性质。

综观试题的命题思路，在圆锥曲线的复习过程中，抓牢定义，活用思想才是复习的正确策略。

【通关锦囊】

直线与圆的考查可归结为如下几个方面：一是在小题中考查直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等；二是在解答题中和圆锥曲线方程一起进行综合考查。其通关锦囊有三：

其一，求直线方程就是求出确定直线的几何要素，即直线经过的点和直线的倾斜角。对于直线的点斜式方程和两点式方程，前者是直线的斜率和直线经过一点确定直线，后者是两点确定直线。

其二，求圆的方程就是求出确定圆的几何要素，即圆心坐标和圆的半径，一般方法是设出圆的方程，根据已知条件得到关于圆心坐标和圆的半径的方程组，通过解方程组求出圆心坐标和圆的半径。

其三，研究直线与圆的位置关系一般是采用圆心到直线的距离和圆的半径作比较，这种方法与纯粹代数的方法比相对简单。

圆锥曲线的考查可以归结为如下四个方面：其一：考查有关概念，即运用椭圆、双曲线、抛物线的定义来判断曲线的类型或探索曲线的轨迹；其二：考查有关性质，即运用椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质解题；其三：求曲线的方程，即考查椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的求解，当然，求解时要结合有关性质；其四：综合考查，即把圆锥曲线与直线、圆综合在一起或把圆锥曲线的内容同三角、数列、函数、向量、不等式、平面几何、立体几何等融为一体，考查综合应用知识的能力和运算变形能力。其通关锦囊有三：

其一，有关圆锥曲线的定义的问题。椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查的内容，除了在大题中考查轨迹时用到外，在填空题中也有出现，解题时要注意第一定义和第二定义的不同使用。

其二，有关圆锥曲线的几何性质。圆锥曲线的几何性质包括椭圆的对称性、顶点坐标、离心率，双曲线的对称性、顶点坐标、离心率和渐近线，抛物线的对称性、顶点坐标、离心率和准线方程等内容，离心率公式一样：e＝ca，但范围不一样，椭圆的离心率在（0,1）之间，双曲线的离心率在（1，＋∞）之间，抛物线的离心率为1。

其三，与椭圆有关的综合问题，常涉及最值、范围、定点、定值的探索。对数形结合思想和运算变形能力要求比较高。

【方法点拨】

解析几何试题在试卷上一般承担区分的角色，试题的得分一般不会很高，解题时要注意方法和技巧。

1. 圆作为特殊的二次曲线，有着特殊的性质。在求解圆方程的过程中往往用到圆的几何性质，这些性质能使解题简捷方便。在圆的性质中，垂径定理、切线长定理、切割线定理等都是十分常见和使用的，充分认识到解题过程中圆的几何性质的巧妙应用，借助数形结合，不仅能优化解题，而且能提高解题能力。

2. 圆锥曲线中研究关于几何量的取值范围问题包含着运动、变化，也存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系，解决这类问题除了要掌握和运用条件和结论中明显体现出的几何特征及意义，考虑利用图形性质来解决问题外，还要紧紧依靠函数的思想和方法。

3. 求圆锥曲线的方程的步骤可概括为“定型、定位、定量”。其中，“定型”是指定圆锥曲线的类型，“定位”是指定焦点的位置，“定量”是指定圆锥曲线的标准方程中的各个参数的值。圆锥曲线的概念和性质是解析几何问题的解题基础，要注重对定义（第一、第二定义）、标准方程、焦点或交点坐标、离心率、准线方程、渐近线、焦半径公式及焦点弦等概念的复习，熟悉有关性质，掌握基本技能和基本方法。

4. 要善于用类比的思想来理解椭圆与双曲线的定义、标准方程及几何性质。注意其中的变与不变，即圆锥曲线方程中的a,b,c,e,p与坐标系无关，而焦点坐标、顶点坐标、准线与渐近线方程与坐标系有关。与焦点的距离、准线的距离有关的问题常常考虑用圆锥曲线的统一定义求解。圆锥曲线的统一定义可将“点到点的距离”与“点到线的距离”进行转化，往往可起到简化运算，事半功倍的效果。运用圆锥曲线的统一定义时，要注意焦点与准线相对应，即左焦点与左准线对应，右焦点与右准线对应。

解析几何问题虽然有难度，但有章法可循，只要回归定义，理清思路，就一定能把问题解决好，就一定能取得好成绩。

(作者:王晓东,江苏省启东市汇龙中学,江苏省特级教师）