高中数学中函数部分易混淆题组及解析

函数教学在高中数学教学中起主导作用,其所涉及的一些数学思想方法贯穿整个高中数学的始终,函数中有许多形式上相同但实质上不同的题目,因此若对一些易混淆的问题不阐述清楚,就会犯错,带来一些负面影响。本文对函数部分易混淆题组进行了解析。

题组1.已知函数y=f(x),

(1)若f(x)的定义域为[2,3],求f(x+1)的定义域;

(2)若f(x+1)的定义域为[2,3],求f(x)的定义域。

解:(1)由f(x)的定义域为[2,3],得2≤x+1≤3,从而1≤x≤2,因此f(x+1)的定义域为[1,2]。

(2)由f(x+1)的定义域为[2,3],得2≤x≤3,即3≤x+1≤4,于是f(x)的定义域为[3,4]。

题组2.已知函数f(x)=lg(ax+2x+1),

(1)若f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围。

(2)若f(x)的值域是R,求实数a的取值范围。

解:(1)条件可等价转化为不等式ax+2x+1>0在x∈R上恒成立。可解得a>1。

(2)条件即f(x)可取遍R上的一切值,所以u=ax+2x+1能取遍(0,+∞)上的一切值。当a=0时,u=2x+1,定义域为(-,+∞),u能取遍(0,+∞)上的一切值。

当a>0时,若Δ

当a

题组3.(1)若函数f(x)=log(-x+logx)在(0,)上有意义,求实数a的取值范围。

(2)若函数f(x)=log(-x+logx)的定义域是(0,),求实数a的取值范围。

解:(1)条件可等价转化为不等式x-logx

(2)条件可等价转化为关于x的不等式x-logx的解集为(0,),也就是说这是一个“恰成立”问题,可解得a=。

题组4.(1)设函数f(x)=x+kx在[1,+∞)上是单调递增函数,求k的取值范围;

(2)若数列{a}的通项公式为a=n+kn,且满足a

解:(1)f(x)=(x+)-要使f(x)在[1,+∞)上单调递增,只要满足-≤1即可,解得k≥-2。

(2)a=(n+)-要使对任意n∈N,都有a

题组5.已知函数f(x)=2x-2m,g(x)=x+3x-x,其中m为实数,

(1)若对任意x∈[-1,6],有f(x)≤g(x)恒成立,求m取值范围;

(2)若存在x∈[-1,6],有f(x)≤g(x)成立,求m取值范围;

(3)若对任意x,xx∈[-1,6],有f(x)≤g(x)恒成立,求m取值范围;

(4)若对任意x∈[-1,6],存在xx∈[-1,6]使f(x)=g(x),求m取值范围。

解:(1)设h(x)=g(x)-f(x)=x+x-x+2m,h′(x)=3x+2x-1=(3x-1)(x+1)>0,解得x,所以函数h(x)在x∈[-1,]上单调递减,在x∈[,6]上单调递增。且h(-1)=1+2m,h(6)=246+2m所以h(x)的最大值为h(6)=246+2m由题意知246+2m≥0,故m的取值范围为[-123,+∞)。

(2)由(1)知函数在x∈[-1,6]上的最小值是h()=-+2m,由题意知,令-+2m≥0,故m的取值范围为[,+∞)。

(3)函数f(x)对称轴是x=0,由图像知f(x)在x∈[-1,6]上的最大值是f(6)=72-2m,令g′(x)=3x+6x-1>0,得x-1+,可知函数g(x)在[-1,-1+]上单调递减,在[-1+,6]上单调递增。x∈[-1,6]上的最小值是g(-1+)=3-,由题意知,只要3-≥72-2m即可,解之得m≥+,所以m的取值范围为[+,+∞]。

(4)由(3)知f(x)的值域是[-2m,72-2m],g(x)的值域是;[3-,318],由题意知[-2m,72-2m]?哿[3-,318],即-2m≥3-且72-2m≤318,解之得-123≤m≤-,故m的取值范围为[-123,,-]。

2008年以来,江苏高考卷的压轴题均涉及函数问题,深刻理解以上各题组中的区别与联系,对于提高数学成绩必有很大的帮助。

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