恒成立问题与有解问题

【摘要】1.两个基本思想解决“恒成立问题”。 思路1:m>f(x)在x∈D上恒成立?圳m≥[f(x)]。 思路2:m≤f(x)在x∈D上恒成立?圳m≤[f(x)]。 如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们...

摘 要: 恒成立与有解问题一直是高中数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇的一个知识点,在近几年的高考试题中,受到高考命题者的青睐,有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。本文归纳了解恒成立问题的基本策略,并初涉有解问题。

关键词: 高考数学 恒成立 有解

一、恒成立问题

函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:在给定区间上某关系恒成立;某函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于a……

(一)恒成立问题解决的基本策略

1.两个基本思想解决“恒成立问题”。

思路1:m>f(x)在x∈D上恒成立?圳m≥[f(x)]。

思路2:m≤f(x)在x∈D上恒成立?圳m≤[f(x)]。

如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导,等等方法求函数f(x)的最值。

2.赋值型――利用特殊值求解。

等式中的恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得。

例1.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图像关于直线x=对称,那么a=()。

A.1 B.-1 C. D.-

略解:取x=0及x=-,则f(0)=f(-),即a=-1,故选B。

3.分清基本类型,运用相关基本知识,把握基本的解题策略。

(1)一次函数型

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图像(直线)可得上述结论等价于f(m)>0f(n)>0。同理,若在[m,n]内恒有f(x)

例2.对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围。

分析:在不等式中出现了两个字母:x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数,显然可将a视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题。

解:原不等式转化为(x-1)a+x-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,

设f(a)=(x-1)a+x-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0,故有:

f(-2)>0f(2)>0,即x-4x+3>0x-1>0,解得:x>3或x1或x

x3,即x∈(-∞,-1)∪(3,+∞)。

此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图像是一线段,故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可。

(2)二次函数型

若二次函数y=ax+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有a>0

例3.设f(x)=x-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,都有f(x)≥a恒成立,求a的取值范围。

分析:题目中要证明f(x)≥a恒成立,若把a移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞]时恒大于0的问题。

解:设F(x)=f(x)-a=x-2ax+2-a,

)当=4(a-1)(a+2)

F(x)≥0恒成立;

)当=4(a-1)(a+2)≥0时,由图可得以下充要条件:

≥0f(-1)≥0-≤-1,即(a-1)(a+2)≥0a+3≥0a≤-1,

-3≤a≤-2。

综合可得a的取值范围为[-3,1]。

(3)变量分离型

若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论:若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立,则g(a)

例4.已知三个不等式①x-4x+3

解:由①②得2

二、恒成立与有解的区别

恒成立和有解是有明显区别的,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用,等价转化,切不可混为一团,下面举恒成立与有解问题的常见问题。

(1)不等式f(x)

(2)不等式f(x)

(3)不等式f(x)>k在x∈I时恒成立?圳f(x)>k,x∈I,或f(x)的下界大于或等于k;

(4)不等式f(x)>k在x∈I时有解?圳f(x)>k,x∈I,或f(x)的上界大于k;

解决恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数,利用函数的单调性、最值(或上、下界)、图像求解。基本方法包括:分类讨论,数形结合,参数分离,变换主元,等等。

例5.已知两函数f(x)=8x+16x-k,g(x)=2x+5x+4x,其中k为实数。

(1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围;

(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范围;

(3)对任意x、x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),求k的取值范围。

解析:(1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x-3x-12x+k,问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≥0恒成立,故h(x)≥0。令h′(x)=6x-6x-12=0,得x=-1或2。

由h(-1)=7+k,h(2)=-20+k,h(-3)=k-45,h(3)=k-9,故h(x)=-45+k。

由k-45≥0,得k≥45。

(2)据题意:存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即为:h(x)=g(x)-f(x)≥0,在x∈[-3,3]有解,故h(x)≥0,由(1)知h(x)=k+7,于是得k≥-7。

(3)它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意x,x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,不等式的左右两端函数的自变量不同,x,x的取值在[-3,3]上具有任意性,因而要使原不等式恒成立的充要条件是:f(x)≤g(x),x∈[-3,3],由g′(x)=6x+10x+4=0,得x=-或-1,易得g(x)=g(-3)=21,又f(x)=8(x+1)-8-k,x∈[-3,3]。

故f(x)=f(3)=120-k。令120-k≤-21,得k≥141。

本题的三个小题,表面形式非常相似,究其本质却大相径庭,应认真审题,深入思考,多加训练,准确使用其成立的充要条件。

参考文献:

[1]张世林,郭东风.与时俱进的不等式恒成立与有解问题[J].数学爱好者(高考版).山西省期刊协会.

[2]代学奎.区别“有解”与“恒成立”[EB].数学中国.

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