用数学类比思想建构数学有效课堂教学的探析

摘要：数学类比思想，就是把两个数学对象进行比较，找出它们相似的本质属性，将其中一个已知数学对象的性质迁移到另一个未知数学对象中的一种思维方式。把数学类比思想运用到数学课堂教学之中，利用原有数学对象的性质进行类比，既可承上启下，又可让学生在类比中洞悉知识的生成、掌握新旧知识纵向与横向的内在联系。这符合知识建构的认识心理，又能使学生掌握数学“双基”，培养学生的数学能力，促进学生情感、态度和价值观的发展。

关键词：数学类比思想 有效课堂教学 探析

回顾基础教育改革所走过的十个年头，期间出现过许多标新立异的教学模式。其中，有不少因为只注重课堂热闹形式，而轻视教学实质的教学模式，现已成为过去。正如教无定法，贵在得法。如何把初中数学的课堂教学上得扎扎实实，真正实现有效课堂教学呢？笔者在二十多年的教学实践中，坚持对不同的学生和不同的教学内容选择不同的教学模式。其中，在数学概念、法则和性质等新授课的课堂教学中，经常采用的是数学类比模式开展课堂教学。对此，笔者做了一些探究与尝试。

一、对数学类比思想的认识

正如著名的数学教育家波利亚所说：“类比就是一种相似。”数学类比就是将两类相似的数学对象进行比较，根据两者相似的本质属性，把已知的数学对象的性质迁移到另一种未知的数学对象之中。类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助学生开拓数学思路，找到解决问题的途径和方法。在初中数学的教材中，有很多的概念、性质、判定和解题方法都可以采用类比模式进行教学。恰当运用类比方法，甚至还能解决一些复杂的数学问题。在运用类比时，应找准被类比的数学对象。被类比的数学对象，应该是学生最熟识、最常见和最具体的。

二、数学概念的类比

数学概念是数学之魂，是建构数学知识体系的奠基石。数学概念非常多，如果靠死记硬背去记忆概念，学生必然难以应付，自然会产生厌学情绪。其实，有很多数学概念是非常相似的，如果将它们进行类比，从中找出它们的共同点，辨别出它们的差异。这样，学生既强化了对原有概念的认识，掌握了新知识，又建构了全面和牢固的概念体系。

案例分析1.在讲授二元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式、二元一次不等式和一元二次不等式等数学概念，都可以一元一次方程概念作为已知对象进行类比获取新的认知。如将一元一次方程中前面的“一”改为“二”， 就可以得出二元一次方程概念；将其后面的“一”改为“二”， 就可以得出一元二次方程概念；再将“等式”改为“不等式”就可以分别得出一元一次不等式、二元一次不等式和一元二次不等式等四个概念。

这样，以一元一次方程概念为对象，通过横向与纵向的类比，就建构出方程与不等式的概念体系。

三、数学性质、判定和法则的类比

数学的性质、判定和法则是解决同类数学问题的一般规律，是学好数学的关键。学习一个新的数学性质、判定或法则时，应找到一个与它相似的数学对象进行类比，通过观察、比较、分析和联想，甚至猜想，从而推导出新的数学对象所具有的本质属性。

案例分析2.异分母的分式加减法则既是分式的重点，也是难点。笔者在教学中是通过以下的类比模式来完成教学的：

教师：请同学们回顾——异分母的分数加减法则。

学生：算一算：■+■=？ ■-■=？

师生：一般地，异分母的分数相加减，先通分，化为同分母的分数，再进行加减运算。

教师：猜一猜——异分母的分式如何加减运算呢？

学生：试一试：■+■=？ ■+■=？

师生：通过运算、类比和猜想，得到异分母的分式加减法则：

文字语言：一般地，异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再进行加减运算。

数学符合：■±■=■±■=■

这样，以分数加减法则为类比对象，通过训练、分析、观察、类比和猜想，从而推导出异分母的分式加减法则。这样，学生不但巩固了分数的加减运算法则，掌握了新的异分母的分式加减法则，而且学生的思维能力、观察能力和创新意识都能得到培养与提高。

四、解题方法的类比

在解决数学问题时，经常会遇到一题多解和多题一解的情况。运用类比的数学思想，很多同类的数学问题，甚至是复杂的、尚未学到的数学问题，都可以得到解决。

案例分析3. 解决可化为一元二次方程的分式方程，可以类比用可化为一元一次方程的分式方程的方法和步骤。通过去分母和化简，将分式方程转化为整式方程来解决。同样，解决二元二次方程组，可以类比用解二元一次方程组的方法，通过消元、降次，把二元二次方程转化为一元二次方程或一元一次方程。

例：解分式方程■+■+■=1

解：去分母，得x-2+4x-2（x+2）=（x+2）（x-2）

移项合并整理，得x2-3x+2=0

解 得x1=1 x2=2

检 验：把x1=1代入（x+2）（x-2）≠0

把x2=2代入（x+2）（x-2）=0

所以x=2是原方程的增根，x=1是原方程的根

将解可化为一元一次方程的分式方程的方法，可以类比到解可化为一元二次方程的分式方程；将解二元一次方程组的方法，可以类比到解二元二次方程组，确实有触类旁通、异曲同工之效。

案例分析4.运用直接开平方法解方程x2=4（解为x=±2）的方法，可以拓展运用到解以下四个类型的方程①x2-4=0②2x2-8=0③（x+2）2=4④2（x+2）2-8=0。解将一元二次方程进行配方，实质上转化为是直接开平方法。

案例分析5.应用因式分解法（十字相乘法）解方程x2-5x+6=0。

（（x-2）（x-3）=0？圯x-2=0 x-3=0？圯x=2 x=3）的方法，可以运用到解以下比较复杂的四个方程：①（x-2）2-5（x-2）+6=0②x4-5x2+6=0③■2-■+6=0 ④x-5■+8=0。

上述两个案例都是以一道题目作为切入点，将它的解题思路和方法，通过举一反三引用到解决同类型的题目。

五、类比在中考中的应用

阅读理解题和观察分析题是近几年中考数学命题的热点题型。要解决这类题型，关键是根据题目所提供的信息，发掘其隐含的条件，通过分析、推理、联想与猜想，从而找到解题的思路和方法。

案例分析6.（2012年广东省中考题）观察下列等式：

第1个等式：a1=■=■×1-■；

第2个等式：a2=■=■×■-■：

第3个等式：a3=■=■×■-■；

第4个等式：a4=■=■×■-■；

………………………………

请解答下列问题：

①按以上规律列出第5个等式：a5 =____

=_____；

②用含n的代数式表示第个n等式：an =___

=_____；（n为正整数）

③求a1+a2+a3+a4…+a100的值。

通过对四个等式横向和纵向的比较，不难发现它们的相同点都含有数字■和一样的结构特征，相关的数字都跟第n个等式的值有关，其他分母都是含有与有关的两个连续奇数2n-1和2n+1。

其实，在初中数学教学中，还有很多教学内容可以运用类比模式。例如，二次函数图象之间的类比，n边形内角和=（n-2）×180与三角形内角和180的类比，矩形、正方形和菱形与平行四边形的类比，梯形中位线与三角形中位线的类比，相似三角形与全等三角形的类比……当然，选择类比的数学对象应恰当，要防止生搬硬套的类比。

正如波利亚所说：“类比是一个伟大的引路人。”在初中数学教学中恰当运用类比，具有承前启后和事半功倍之效，使学生学习数学的思维和解决问题的思路能豁然开朗。为此，我们确实要用数学类比思想建构数学有效课堂教学，确实做好学生学好数学的“引路人”。

参考文献：

[1]义务教育课程标准实验教科书.数学七、八、九年级.人民教育出版社，2001（2）.

[2]何小亚.数学-学与教的心理学.广州：华南理工大学出版社，2011（8）.

[3]王林全.现代数学教育研究概论.广州：广东高等教育出版社，2005（6）.

[4]蔡亲鹏，陈建花.数学教育学.杭州：浙江大学出版社，2010（6）.（责编 高伟）