浅谈不等式的证明的方法

【摘要】不等式，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融合贯通，起到了很好的促进作用。在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案、最终归结为不等式的求解或证明。而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合，它既是中学数学教学中的难点，也是数学竞赛培训的难点。近年也演变为竞赛命题的热点，因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理，非常讲究的恒等和不等变形技巧，而且证明过程千姿百态、极易出错。因此有必要对不等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与大家一起分享交流。

【关键词】不等式、证明、比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、换元法、构造法。

中图分类号：O141.2 文献标识码： A

不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、数学归纳法等.要明确分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围. 若能够较灵活的运用常规方法(即通性通法)、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题.

一、不等式的证明方法

1．比较法：

（ 1）作差法比较：.

作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.

③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.

（2）

例1 若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之.

分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知 .

解：由题意得.

证明：（比较法）.

，，

.

2．分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证……

①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.

②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达.

例2．若，且为非负实数，求证：．

证明（分析法）：要证，

只需证明，

展开得：，

又，即证 ，

为非负实数，，，，

三式相加得：，

成立，．

3．综合法：利用不等式的性质和已经证明过的不等式以及函数的单调性导出特征不等式的方法叫做综合法，概括为“由因导果”。综合法是分析法的逆过程，表述简单，条理清楚，所以在实际证题时，往往 分析法分析用综合法写出。

例3设a,b,c都是正数，求证：

证明(综合法)：a,b,c都是正数，

都是正数，

三式相加得：

点评：通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之，亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是知果索因，后者是由因导果，为沟通联系的途径，证明时往往使用分析法与综合法，两面夹击，相辅相成，达到解决欲证不等式的目的。

4．反证法：正难则反.

证明步骤：假设结论不成立，由此出发进行推理，最后导出矛盾的结果，从而得出所证的结论一定成立。

例4 已知 、 、 、 ，且 .求证： 、 、 、 中至少有一个是负数.

证明：（反证法）：假设 、 、 、 都是非负数，

， .

又 .

这与已知 矛盾.

、 、 、 中至少有一个是负数.

5．放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。下面举几个例子说明这个问题。

常见的放缩法的方法有：

①添加或舍去一些项，如：；；

②将分子或分母放大（或缩小）；

③利用基本不等式，如：；

；

④利用常用结论：

；

； （程度大）

； （程度小）

.6.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.

如：已知，可设；

已知，可设()；

已知；

已知；

已知。

7.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；

例6求证：

证明（构造法）：设

则

(1)

(2)

而 的定义域中的一个值，

所以是它的值域中的一个值。

由（1）和（2），知

综上：

参考文献：2008年3月第1版《与名师对话》