全等三角形的四种应用

全等三角形是初中数学的重点内容，在每年中考试卷中都占有一席之地.下面以近两年中考题为例，说明全等三角形的四种作用.

一、证明角相等或求角的度数

例1 （2011年武汉卷）如图1，D，E分别是AB，AC上的点，且AB=AC，AD=AE．

求证：∠B=∠C．

证明：在ABE和ACD中，

AB＝AC，∠A＝∠A， AE＝AD，

ABE≌ACD.

∠B=∠C.

温馨小提示：全等三角形对应角相等，这是证明角相等或求角的度数的常用方法.

二、证明线段相等或求线段长

例2 （2011年衡阳卷）如图2，在ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．

求证：BE=CF．

证明：在ABC中，AD是中线，

BD=CD.

CFAD，BEAD，

∠CFD＝∠BED＝90°.

在BED与CFD中，

∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，

BED≌CFD.BE=CF．

温馨小提示：全等三角形对应边相等，这是证明线段相等或求线段的长的常用方法.

三、添加条件

例3 （2011年鸡西卷）如图3，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF=CE，请添加一个适当的条件：

，使得AC=DF．

分析：AC、DF分别是ABC和DEF的边，只要证ABC≌DEF即可.由于本题是开放性题，由已知可得∠B=∠E，BC=EF，根据全等三角形的判定方法添加一个条件即可.

添加的条件：AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE.

温馨小提示：添加条件类问题在中考中越来越常见.解这类问题宜用逆向思维：观察所求的线段或角在哪两个三角形中，结合已知条件确定证明全等三角形的方法.探寻全等的条件时，要挖掘图形中隐含的等边和等角，比如，公共边、公共角、对顶角以及平行、垂直等.

四、全等三角形在几何推理中的应用

例4 （2010年西宁卷）八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角，如图4.设计了如下方案：

（Ⅰ）∠AOB是任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.

（Ⅱ）∠AOB是任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.

（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.

（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PMOA，PNOB.此方案是否可行？请说明理由.

解：（1）方案（Ⅰ）不可行.

因为根据已知条件不能判定OPM与OPN全等，

所以不能确定OP是∠AOB的平分线.

方案（Ⅱ）可行.

证明：在OPM和OPN中，OM=ON，PM=PN，OP=OP，

OPM≌OPN.

∠AOP=∠BOP.

（2）当PMOA，PNOB时，此方案（Ⅰ）可行.

PMOA，PNOB，∠OMP=∠ONP=90°.

PM=PN，OP=OP，RtOPM≌RtOPN.

∠AOP=∠BOP. OP为∠AOB的平分线.

温馨小提示：本题借助作图过程，考查全等三角形的判定定理.解这种以几何作图为背景的推理论证题，要从作图过程中寻找全等所需的条件，条件充足说明作图准确，条件不充足说明作图方法不正确.■