方程应用题范文

方程应用题篇1

1审题 弄清题意和题目的已知数、未知数，并找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系

2设未知数 选择一个适当的未知数用字母表示，并根据题目中的数量关系用含未知数的代数式表示有关的未知量

3列方程 根据相等关系列分式方程

4解方程 其过程可以省略

5检验 首先检查所列方程是否正确，然后检查所列方程的解是否符合题意

6写答 千万不要忘记单位

以上六个步骤，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量

现举例介绍，供同学们参考

例1 2008年5月12日，四川省汶川发生80级大地震，某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少?人均捐款多少元?

分析:解答本题要注意利用如下相等关系：

第一天人均捐款数=第二天人均捐款数

解:设第一天捐款的人数为x人，则第二天捐款的人数为(x+50)人，依题意，得

=

解方程得, x=200

经检验, x=200是所列方程的解，且符合题意

所以两天捐款人数为x+(x+50)=450，人均捐款为 =24

答:两天共参加捐款的有450人,人均捐款24元

例2 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定:用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线(如图所示)；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜结果:甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完 事后，甲同学说:“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说:“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的12倍” 根据图文信息，请问哪位同学获胜?

分析：要判断哪位同学获胜，应把甲、乙两位同学跑完全程的时间分别求出来 不难发现，表示本题全部含义的一个相等关系为：

甲跑完全程的时间+乙跑完全程的时间=甲、乙两同学所用的全部时间的和

解:设乙的速度为每秒x米，则甲的速度为每秒12x米 依题意，得 +6+ =50

解之, x=25

经检验, x=25是所列方程的解，且符合题意

所以甲跑完全程的时间为 +6=26(秒),乙跑完全程的时间为 =24(秒)

答:乙同学获胜

例3 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元

(1)求第一批购进书包的单价是多少元?

(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元?

分析：解答本题要注意利用如下相等关系：

第二批所购书包数量=第一批所购书包数量的3倍

解:(1)设第一批购进书包的单价是x元，则第二批购进书包的单价是(x+4)元 依题意，得

= ×3

解方程得, x=80

经检验, x=80是所列方程的解, 且符合题意

答:第一批购进书包的单价是80元

(2)不难计算出,第一批所购书包数量为 = =25(个),第二批所购书包数量为25×3=75(个)

所以两批书包的全部售价为(25+75)×120元，即12000元

因为两批书包的全部进价为(2000+6300)元，即为8300元

所以12000-8300=3700

方程应用题篇2

1 树立信心，勇于挑战

常言道：攻心为上，攻城为下。任何事情，要想取得成功，获得胜利，首先应该在心理上要战胜自己。面对列方程解应用题，相当一部分学生存在着畏惧心理，总认为此类题目难解、费时，即使勉强做出来，也难以确定该答案到底正确与否。很多学生都愿意将时间花在计算题上，不知道他们是否想过，放弃了列方程解应用题，即使其他题目弄个全对，能算优秀生吗？答案当然是肯定的。这类考生在列方程解应用题的这方一面的能力，永远是一片空白。况且，有些应用题本来就非常简单，由于畏惧心理的影响，再简单的题目，也人为的变得复杂起来。面对应用题，我们一定要克服畏惧的心理，勇于挑战，反复读题、审题，弄清题意，找出其中的等量关系，将文字语言转化为符号语言，顺藤摸瓜，认真思考，仔细分析，再复杂的问题也会迎刃而解。

2 分清方程的类型及特点

将军在排兵布将时，心中早就已经对地形、兵种、武器、天气等等一切情况有着周密的了解，同样的道理，我们在解方程之前，胸中也应该有一盘完整的棋局，即掌握方程的各种类型及其特点。我们要能够判断某个应用题大致涉及到的是一元方程还是多元方程，是一次方程还是高次方程。这样，我们才能思路正确的进行解题。

3 掌握列方程解应用题的一般步骤

列方程解应用题的一般步骤大致归纳为“审”、“设”、“列”、“解”、“检验”、“答”六个步骤，但是，每一步对解题都至关重要、缺一不可。因此，我们应该认真对待其中的每一步，绝对不能疏忽。

（1）“审”题，是指读懂题目，弄清题意，看看单位是否统一。看看题目告诉了我们哪些已知条件，要求我们解决什么问题。审题是列方程的基础，审题体现出作题者的文字功底和对数学语言的掌握程度，因此，我们应该在学习数学的同时，加强对阅读能力的培养和数学语言的理解、积累。

（2）“设”是指设未知数。在一道应用题中，往往含有一个或者一个以上的未知量，我们应该将这些未知量，在理解题意的前提下，用表示数的字母将其表示出来。当题目中只含有一个未知量的时候，我们通常用字母X表示，当题目中含有第二个未知量的时候，我们要么采取用含有一个字母的代数式去表示另一个数的方法去处理，要么用另外一个字母（如Y）表示。假设题目中还存在第三个未知量，我们就用与前面不相同的字母（如Z）表示，依此类推。然后根据各量之间的数量关系，将其它几个未知量用字母或含字母的代数式表示出来。

（3）“列”就是列方程。这是非常重要的关键步骤，一般先找出题目中的等量关系。如何去找题目中的等量关系呢？这又涉及到题目的阅读与理解问题，我们要回过头来，仔细研究题目中的各个数量之间的大、小、多、少、和、差、倍、分、增加、减少等等的关系，也就是说，谁比谁大多少，谁比谁的几倍或几分之几，谁增加了多少，谁又减少了多少等等此类问题。然后，字母或代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程，注意，单位要统一，要不然会前功尽弃。

（4）“解”就是解方程，即求方程的解的过程。在这里，一定要分清楚“解方程”与“方程的解”是两个意义完全不同的两个概念，解方程是指求未知数的值的过程，也就是指解题过程，而方程的解指使方程左右两边相等的未知数的值，是指数值，而且要求这些数值要能够使方程的左右两边相等。求出未知数的值，这一步要倍加小心、认真。要考虑到如何去掉方程中的分母，如何去掉方程中的括号，如何变号移项、合并同类型等等因素，如果是二元一次方程，我们还要考虑是采用求根公式法还是因式分解法等。

（5）“检验”是指检验方程的解能否保证实际问题有意义。“检验”这步不要求写详细过程，有不符合题意的解时，及时指出，舍去即可。

（6）“答”就是写出答案，必须写清单位名称。

方程应用题篇3

一、使学生顺利审题列方程

列方程解应用题的一般步骤为：

(1)弄清题意，找出已知条件和所述问题；

(2)根据题意确定等量关系，设未知数x；

(3)根据等量关系列出方程；

(4)检验。写出答案。

其中找“等量关系”是列方程解应用题的关键。我在教学中对每道例题都坚持让学生正确叙述其中的“等量关系”。这样做，我认为有以下几点好处：①有利于学生理解题意，找出“等量关系”。学生列方程有时感到困难，原因之一就在于对题意的理解还不透彻，忙于列方程，结果常常出错。②有助于学生考虑问题的思路规范化。通过教学要使学生明确：解题之前，首先要在理解题意的基础上，找出其中的“等量关系”，然后列方程。这样就不会处于一种审题怕方程列不出来，而茫然不知所措的状态。③有助于显现未知数的设法。“等量关系”就是用语言或文字列出方程。因此，在所列的“等量关系”中，哪些量是已知的，哪些量需要设成未知数，便明显可见。④有助于减少学生列方程的困难。从审题到列方程，对于理解能力较弱或数学基础较差的学生来说，这一步的距离是比较长的，而“等量关系”是从应用题的事实到把内部联系以方程为桥梁，用这样的―个桥梁来过渡，再把“等量关系”翻译”成方程。

例如：甲、乙骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇。甲比乙每小时多骑2.5千米，求甲乙的时速各是多少?

分析：本题中的等量关系有：甲的时速=乙的时速+2.5千米肘，甲走的路程+乙走的路程=65千米。

未知：甲乙的时速。

通过分析我们可以设乙的时速为x千米，时，则甲的时速为(x+2.5)千米，日寸，其中的等量关系为“甲走的路程+乙走的路程=65千米”。

由分析可列方程为2(x+2.5)+2x=65，解x求出甲乙的时速。

二、明确正确列方程的三条标准

为了使学生能够正确列出方程，并具有检验自己所列方程是否正确的能力，我结合例题讲解了正确列方程的三条标准：①两边的意义相同。②两边的单位一致。③两边的数量相等。也就是说，左边的代数式的意义若表示路程，右边的代数式的意义也必须表.示路程，左边若以“千米”为路程单位，右边也必须以“千米”为路程单位，左边总共代表的是10千米，右边总共代表的也必须是10千米。因为，方程两边所代表的意义是通过代数式表达出来的，若不认真加以推敲，就容易犯两边意义不同、单位不统一的错误。如，有含盐8％的盐水40千克，要配制成含盐20％的盐水，需要加盐多少克?学生很容易设成加入x克盐，错列为40×8％+x=20％(40+x)。由于单位不统一，数量不相等，这就破坏了“等量关系”，也歪曲了原题的意思。所以是错误的。实践表明，明确提出列方程的三条标准对于提高学生列方程的能力有一定的积极作用。

三、为熟练列方程做好准备-

在讲每一类型的应用题之前，都把基本关系式或解题要点加工整理，明确列出。―方面强调记忆，―方面配备列代数的例题及练习，使学生熟练地运用基本关系式列出代数式，向列方程靠近。如，在行程问题中，基本关系式可列为：①路程=速度×时间；②甲、乙相向运动的速度=甲的速度+乙的速度；③追赶的速度=迫者的速度―被迫者的速度；④顺水的速度=静水速度+水流速度；⑤逆水速度=静水速度-水流速度。

工程问题的解题要点为：①把全工程看成“整体1”；②如果某人独做某工程要a天完成，那么他的工作效率就是每天做全部工作的1／a，基本单位式为：工作效率×工作时间=工作量。

浓度配比问题的基本关系式为：①浓度=溶质质量，溶液重量×100％；②溶液重量=质重量+剂重量。

列方程解应用题虽是―个难点问题，但只要透彻理解题意，正确列出“等量关系”，列方程解应用题就不会困难了。

方程应用题篇4

关键词：方程模型　应用题教学　数学模型

做任何事情总要运用一定的方法，方法正确，会收到事半功倍的效果；方法不正确，会产生事倍功半的情况，甚至导致失败。当今时代，边缘科学是科学往纵深发展的一个方向。数学作为科学的基本工具，使各种领域问题的解决无不或多或少地依赖于数学。定性、定量分析是各种领域研究问题的基本方法，在初中数学应用题的教学中，适当并恰当地渗透数学模型方法，会起到很好的效果。

一、初中数学中常见的方程模型

在一定意义上说，列方程(组)解应用题就是用数学模型方法解决问题的。初中数学课程中方程模型的运用十分广泛，其中许多问题都能采用甚至几乎是完全采用数学方程模型的方法来解决，将实际问题中的文字语言用方程(组)来表示，解出方程(组)，问题便迎刃而解了。

根据初中数学课程中接触到的方程，将它们与数学模型联系，我们得到了初中数学中常见的六类数学方程模型：

二、应用题教学

列方程(组)解应用题是运用方程(组)的知识解决实际问题的重要课题，对于培养学生分析问题和解决问题的能力十分有益，它既是教学中的重点内容，又是教学中的难点内容。在初中代数里，曾先后五次出现了列方程(组)解应用题：列一元一次方程解应用题；列二元(三元)一次方程组解应用题；列可化为一次方程的分式方程解应用题；列一元二次方程解应用题；列可化为一元二次方程的分式方程解应用题。

通过解应用题教学，可以归纳出列方程(组)解应用题的一般步骤是：

⑴审：分清题中的已知量、未知量及其关系。

⑵设：用字母x（y，…）表示题中的未知数。

⑶表：用含有未知数的式子表示题中有关的代数式。

⑷列：根据题中已知数与未知数的相等关系列出方程。

⑸解：解出所列的方程。

⑹验：判断方程的解是否符合题意。

⑺答：对题目提出的问题作明确的回答。

以上七步，前三步是基础，第四步是关键，教学重点放在前四步，这是教学列方程(组)解应用题成败的关键。当然后三步也不能忽视。

解应用题的前三步是密切相关的，有时甚至是交织在一起的。

首先要认真审题，分清题中哪些是已知量，哪些是未知量，已知量与未知量之间有怎样的关系，这些关系是直接给出的还是间接给出的。对于条件较多、关系复杂的应用题，可采用列表或画图的方式，仔细分析，加深理解题意。

其次，要重视“用未知数表示代数式”这一环节。一个应用题往往含有多个量，当选择某一未知量为未知数后，就要用这个未知数表示其它相关的量，不要设完未知数就立即进入布列方程的工作。

第三，搞清一些常见的基本数量关系式，并熟悉它们的变形，这对解决常见的应用问题是很有好处的。要寻找题中的等量关系，这是布列方程的关键所在。可按“等量关系语”去考虑，如“多”、“少”、“早”、“迟”、“是”、“为”、“比”等；或者按基本公式去考虑；或者按各类应用题中常用的等量关系去考虑，如“加水前含盐重量=加水后含盐重量”等；也要注意挖掘隐藏的等量关系。抓住了这一点，问题就容易解决了。

初中数学课程中方程模型的运用十分广泛，其中的许多问题都能采用数学方程模型的方法来解决。教学时，指导学生将实际问题中的文字语言用方程（组）来表示，解出方程组，问题便迎刃而解了。同时要讲清列方程（组）的关键——找等量关系，此即为构造方程模型的关键。

数学的生命力在于它能有效地解决现实世界向我们提出的各类实际问题，而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。如何将现实问题转化为数学模型，这是对中学生创造性地解决问题的能力的检验，也是初中数学教学的重要任务。因此，在初中数学教学中应给学生贯穿数学模型的思想，并指导学生去解决它们，同时要加强学生在这方面的学习和训练。

初中数学内容包括代数、几何、三角等几个部分，它们都各自构成了数学模型。每一个这样的数学模型又可分为若干个小的数学模型，这许许多多的数学模型，经过教法设计和逻辑处理后，有机地结合起来，便构成了初中数学的知识系统。依此观点，可以认为初中数学教学实际上是数学模型的教学，而方程模型是重要的数学模型之一，因此要在初中数学教学中加强这方面的指导。

参考文献

[1]王仲春 等 编著《数学思维与数学方法论》.北京：高等教育出版社，1989。

[2]赵振威 等 编著《中学数学教材教法》.上海：华东师范大学出版社，1994。

[3]北京师范大学出版社 编著《九年义务教育三年制初级中学教科书·数学》.北京：人民教育出版社，2007-2010。

方程应用题篇5

关键词：方程；应用题；引导；体验；训练

中图分类号：G632　文献标识码：A　文章编号：1002-7661（2012）24-129-01

对于中学生，列方程解应用题是让他们深感头疼和害怕的事，越害怕就越感到困难。久而久之就会产生恐惧的心理。通常大多数学生是读完一道题，如入云里雾里，摸不着头脑，脑子一片空白，不知从何处着手来解决问题。而对于教师来讲，列方程解应用题也是教学中的一个难点。因为学生对接受列方程的思想解应用题存在很大的困难，对应用题产生畏难情绪，以至于影响到他们学习数学的兴趣和信心，影响了教学效果。对此，结合素质教育的要求，我认为在列方程解应用题的教学中应引导学生自主学习，亲身体验，因材施教，使学生通过适量的训练，培养数学的学习能力，积累解题的经验，提高分析问题和解决问题的能力。这里以我在教学中的几点做法说明应注意以下几个方面：

一、结合自主学习，了解题目内容

今天的社会，文盲不仅仅是指没有文化的人，也指那些不会自我学习和光会学不会用的人。学生要学会自主学习，培养数学学习能力已经被提到了日程上来。所以列方程应结合自主学习，首先让学生通读本节课所要学习的内容，尤其是例题，要求学生基本上能脱离课本口述例题的已知条件和所求的内容，了解题目的全貌。在以往的教学过程中，我忽略了学生应脱离课本来了解一道题的全貌，仅仅是强调要注意审题，而学生往往是看一句想一句，不看书什么也想不起来，根本不了解整道题的全部内容。后来我尝试着要求学生看完题后能脱离课本复述题目内容，完成了这一步才能进入分析过程。这样一来，收到了意想不到的效果。

二、加强引导，培养分析问题能力

学生把题目通读完之后，就应联想到这道题是学过的行程问题，工程问题，利润问题，浓度问题等等中的哪一类问题，一旦确定是哪一类问题，教师可提出几个有梯度的问题由学生来回答，帮助学生理解题意。

例如，一项工作，甲单独做12天可以完成，乙单独做15天可以完成。如果甲、乙、丙三队合作3天完成。问丙队单独完成这项工作需几天？

在学生脱离课本能复述已知条件和所求内容后，确定本题为工程问题，提出以下四个问题：（1）工程问题中三个量之间的关系是什么？（2）工程问题中通常将工作总量看作什么？（3）通过题目中哪些文字可以知道甲、乙、内的工作效率？（4）三个队合作的工作效率如何表示？要将以上四个问题解决了，这道工程问题也就迎刃而解了。

三、亲身体验，克服畏难情绪

学生为什么害怕列方程解应用题，对此感到困难呢？我认为很重要的一个原因就是，数学作为自然科学中的一门基础学科和工具学科，人们更注重纯粹的演绎，而忽略了数学是来源于生活又服务于生活的。由于学生许多数学问题的解决是在“空中楼阁”中完成的，离真实生活很远，故而没有自己的感受和体验。在没有获得有关数学实体与数学关系的经验的前提下，学生是不能形成自己的观点的，是很难发现数学关系的。

四、强化训练，掌握规律

任何事物都有其内在的规律性　，掌握了规律，就等于找到了解决问题的钥匙。列方程解应用题主要分为审题，找等量关系，列方程三大步骤。要抓住这三步关键进行强化训练，使学生逐步掌握列方程的一般规律性　，提高解题能力。即：1、正确审题。要训练学生的审题能力，从中找出已知量、未知量，对关键的语句如“多”、“少”、“快”、“慢”“早”“晚”、“甲是乙的1.5倍”等等加强对比，为全面理解题意，列方程打下基础。2、准确的找出等量关系。等量关系一般分为两大类，一类是同类量之间的等量关系，如上例工程问题中甲、乙、丙合作完成的工作量＝工作总量1。另一类是相关量之间的等量关系，如路程＝速度×时间、工作总量＝工作效率×工作时间等等，要引导学生发现一切可以组成等量关系的因素列出方程。3、列方程。将等量关系具体化，通过设未知数列出方程。

五、一题多解，扩展思路

列方程解应用题虽有一定的规律性，但具体解题时可通过不同的途径去实现，或者说一个应用题可以从不同的角度设未知数，列出不同的方程。

例如，甲做90个机器零件所用的时间和乙做120个机器零件所用的时间相等，又知每小时甲、乙二人共做35个机器零件。问甲、乙每小时各做多少个机器零件。

方程应用题篇6

一、对教材的分析列方程解应用题是在第七册学习列出含有未知数的等式解一步计算应用题的基础上进行教学的。共分四个层次，首先教学比较容易的两步计算的应用题，其次教学两、三步计算的应用题，本课内容是第三个层次，第四是用方程和算术方法解应用题的比较。列方程解含有两个未知数的应用题，是第一次出现在全国统编教材上。例6的内容，在算术中称为"和倍"和"差倍"问题，由于是逆向思考题，解法特殊，不易掌握，现在用方程来解，不仅思路较简单，而且这两类问题的思路统一，解法一致，既可减轻学生负担又提高了解应用题的能力，是今后小学学习分数等应用题的基础，也是今后到中学继续学习代数方程解应用题所必须具备的知识，必须重视这部分内容的教学。

本节课的教学目标是使学生初步掌握含有两个未知数的应用题的解题思路和方法，会解含有两个未知数的应用题；会用把两个未知数的值代入已知条件看是否符合的方法进行验算；在教学解题思路的同时培养学生初步的分析、综合、比较的能力；在解题过程中进一步培养初步的类推和迁移的能力及养成独立思考的良好习惯。

本节课的重点是正确设未知数和列出方程，关键要找出等量关系，列方程也是教学的难点。

二、对教学方法的选择列简易方程解应用题是中学列代数方程解应用题的基础，选择教学方法时，要注意中小学教学的衔接。

本节课首先要考虑正确运用迁移原理，这对中、小学的学习都将具有积极作用。在准备阶段的练习题中，不论是数量关系和解题的方法对学习例6都具有迁移的作用，利用这一原理可引导学生直接去做例6后的"想一想"，这既能培养迁移推理能力，也能促使学生养成独立思考的习惯。

其次，由于小学生仍处在从形象思维向抽象思维过渡的关键时刻，所以要考虑怎样做好这个过渡，在教学中采用画线段图帮助分析数量关系。线段图能使数量关系明显地呈现出来，有助于帮助学生设未知数，找等量关系和列出方程。

第三还要考虑学法指导。本课要教会学生阅读、分析应用题的方法、验算的方法，从不同角度思考问题的方法。在教学检验方法时，采用阅读的方式，让学生边读边想并说出两个检验式子的含义与作用，从中悟出检验的方法。教完例6后引导学生想不同的解题思路，列出不同的方程，就是教学生如何从不同角度思考问题的方法。这些方法对今后继续学习数学是十分必要的。

三、对教学环节的安排本课教学分三个阶段。

主要针对新授的内容和学生不习惯用方程解及感到列方程有困难等问题设计了三个教学环节。一是基本训练，进行列方程的训练，如，x的5倍与x的和是80；根据题意把方程写完全的训练，如，果园里原有桃树x棵，杏树135棵，两种树一共有180棵。＝180，＝135；根据线段图列方程的训练，如，第二个环节是练习例6前的复习题，对学生再现了三年级的内容是为学习例6"架桥"。为学习新课予作准备。第三个环节是导入新课。从改变复习题中的问题和一个条件，将复习题变成例6。使学生感到数量关系并不生疏，但由于需要逆向思考，学生又感到难做，以激发学生学习动机，为学习新课提供良好的情感和认知的起点。（第一阶段需5分钟左右）

按照列方程解应用题的一般步骤安排四个环节。一是审题。即，全面分析已知数与已知数、已知数与未知数、未知数与未知数之间的关系，画好线段图，找出已知数，并将其中的一个设为x，而另一个则根据题中的一个条件写成含x的代数式。解答例6就应先设桃树为x棵，根据杏树是桃数的3倍这一条件得出杏树为3x棵，画好的线段图如下：二是找出等量关系列出方程。前面设未知数时已使用了一个条件，现在用另一个条件来列方程。即根据桃树和杏树共180棵列出方程x＋3x＝180；也可根据桃树和杏树共180棵来设未知数，根据另一条件列方程。这时设桃树为x棵，杏树是（180－x）棵，列出的方程是180－x＝3x；也可设杏树为x棵，根据杏树是桃树的3倍，得出桃树是13x棵，列出的方程是x＋13x＝180；也可根据另一个条件设未知数，即设杏树为x棵，桃树是（180－x）棵，列出的方程是x＝3（180－x）。但后几种方程解起来不方便，有的方程目前学生还不会解，教学时可要求学生只列不解。这些方程的列出有利于全面掌握数量关系，也有利于掌握，先根据一个条件设第二个未知数，再根据另一个条件列方程的基本思路和方法。但不能要求全体学生都会列出，特别是中差生，只掌握书中的一种即可。列出这些方程后，学生自然会得出书中列出的方程容易解，为此，教育学生今后学习时，不仅要考虑列出的方程是否正确，还要考虑列出的方程是否易解的问题。

第四个环节是检验。虽不要求写在本子上或卷子上，但这是不可忽视的重要步骤，长期要求下去，就可使学生养成良好的检验习惯，增强责任心和自信心，那种做完题不知对错的做法是后患无穷的。（这个阶段需20分钟左右）。

一是巩固新知的练习，可做128页"做一做"中的题目。接着做"想一想"题目，让学生独立用解"和倍"题的方法解"差倍"题，完成知识的迁移。第二环节安排课堂上的独立作业（5分钟左右）让学生独立做129页练习三十一的第一、二题，（对较好的学生教师根据实际情况增加题目）做完之后要认真进行讲评、纠正错误和打开思维受阻之处。

最后做课堂小结和布置作业（129页练习三十一第3、4、5题）。（第三阶段需15分钟左右）。

方程应用题篇7

【关键词】：函数思想；方程思想；应用

[Abstract]: function and equation is the most important content in middle school mathematics. Function and equation thought is one of the important basic thought of in the high school mathematics, has been widely used in problem solving, over the years is a key test of the college entrance examination.

[keyword]: function; equation; application

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）

函数与方程是中学数学中最为重要的内容。函数与方程思想更是中学数学中的重要基本思想之一，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。

函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数，当时，就转化为方程，也可以把函数式看做二元方程，函数与方程这种相互转化的关系十分重要。

函数与表达式也可以相互转化，对于函数，当时，就转化为不等式，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

数列的通项或前项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。

函数与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。

解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。

立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。

高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用，可以分成逐渐提高的四个层次。

第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数（一次、二次等）方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等；

第二层次：对带参数的方程或不等式的讨论，常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题；

第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系（包括点与曲线及直线与曲线的位置关系）、函数的性质、集合的关系等；

第四层次：构造方程或不等式求解问题。

其中第三、四层次（特别是第四层次）已经进入到方程、不等式观点应用的境界，即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。

纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。

函数思想

所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。

构造函数，运用函数的性质

例1.（1）已知关于的方程有唯一解，求的值；

（2）解不等式。

分析：（1）构造函数，则问题转化为求的零点唯一时的。

（2）由观察可构造函数再利用函数的性质，解决问题。

解析：（1）令，

的图像关于轴对称，而题设方程由唯一解，从而此解必为（否则必有另一解），。

（2）设，易证在区间内为增函数。点评：有关不等式、方程及最值之类的问题，通过构造函数关系式，借助函数的图像与性质，常可使问题简单得解。

2.选定主元，揭示函数关系

例2．对于的一切值，使不等式恒成立的的取值范围是

分析：从一个含有多变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系。

解析; 且，，即。①

当时，不定式①不成立。

当时，设。

当，

即又当，

即故的取值范围时。

点评：本解的巧妙之处是“反客为主”，求x反而以a为主变元对x进行讨论，这才是真正切中要害。若以x为主元对a进行讨论，则问题的解决就繁就难多了。

3．选取变元，确定函数关系

例3．函数的值域是。

分析：一般思路是：平方，移项，孤立根式，再平方，可以化无理式为有理式。面对这样一个低于四次的含双变量的方程，其难度真不敢想象。然而，可考虑转换选取新变元。

解析：由，设，

那么，

当

点评：虽然经选取变元后的函数简洁明快，可以使人拍案叫绝，但须特别注意到：转化后的函数上没有单调性，故最大值不能在其右端点取得。

4.利用二项式定理构造函数

例4：求证：。

分析：构造函数，比较两个展开式中的系数。

解析：令，展开式中的系数，又

其中的系数为，故=。

点评：利用函数，用赋值法或“二项”展开来比较系数可以解决许多二项式定理有关的问题。

5.用函数的思想方法解数列题

例5.已知不定式对一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围。

分析：无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。

解析：令

，

所以为增函数，且

由题意得。

点评：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出的最小值。用函数方法解决问题，正是函数思想的核心。

6.建立函数关系解应用题

例6.用总长为14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，要求底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。

分析：这里有四个变量：底面的长、宽、长方体的体积和高。设长、高可用x表示，容积y是x的函数。运用长方体的体积公式，建立目标函数表达式，再求函数的最大值。

解析：设容器底面宽为x(m),则长为x+0.5(m),高为

由，设容器的容积为y(m),则有

整理得，求导，得

，令即

解得。从而，在定义域内只有在。因此，当时，y取得最大值，这时，高为。

答：当容器的高为1.2m时，容积最大，最大容积是1.8(m)。

点评：此题容易忽视的时自变量x的取值范围，缺少它，很难判断求出的最大值是否符合题意。另外，适当设出自变量，建立函数关系是解此类题的关键。本题在求函数最大值时，是用求导的方法求出极值点，再根据实际情况判断是最大值还是最小值。

7.函数思想在几何中的应用

例7 如图,是圆的直径,垂直于圆所在平面,是圆周上任意一点,设,.求异面直线和的距离.

分析：因为异面直线间的距离是连结异面直线上任意两点的线段中的最短者, 因此本题可用求函数最小值的方法来解, 这里建立函数表达式是解题的关键

解析： 在上任取一点,过点作于,过作于,连结,设,由题设易证

因为是等腰直角三角形,所以

在中,

因为,

所以,当时,

点评：本题主要是根据几何关系建立函数关系式,通过解决函数问题来求出对应的几何问题.

方程的思想

方程与函数密切相关，在解题中，方程的思想占有重要的地位，也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一。

解方程或分析方程的解

例8.已知实数成等差数列，成等比数列，且求。

分析：利用数列的有关公式，列出方程组求解。

解析：由题意得由1、2两式，解得，将带入3式，整理得

故。经验算，上述两组数符合题意。

点评：本题的列方程组和求解的过程，体现的就是方程的思想。

2通过换元构成新的方程

例9.关于的方程恒有解，求的取值范围。

分析：通过换元将方程变为二次方程恒有正根，同时利用根与系数的关系。

解析：（法一）设原方程有解即方程有正根，

即，

解得

（方法二）设

①当

；

②.

综上可得，。

点评：对于多元方程（含参数）通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图像和性质来解决。

3.构造方程求解

例10.设函数，且存在使得成立。

⑴若

⑵若直线的图像交与M,N两点，且M,N两点的连线被直线平分，求出的最大值。

分析：对于⑴小题，由题设条件易得，由方程根的意义可构造一个根为的一元二次方程，再借助韦达定理发现与对称轴的关系。最后运用二次函数的单调性可判断出；第⑵小题可先建立的函数关系式，再运用均值不等式可求得的最大值。

解析：⑴由题意

的图像的对称轴为，

⑵

。由，代入直线方程，得

当且仅当。

点评：若没有方程的思想意识，则不能从中观察出m,n是某一个一元二次方程的两根，从而也就无法得出这样有用的关系式，使解答陷入困境。因此，由根的意义或韦达定理构造一元二次方程是最常见的思路，不可忽视。

函数与方程相互转化的思想

解题时，不能局限于函数思想或方程思想，而应该根据两者之间的相互关系，使其能相互转化，以达到快速解题之目的。

例11.已知抛物线

⑴当为何值时，抛物线与轴有两个交点？

⑵若关于的方程的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求的取值范围；

⑶如果抛物线与轴相交于A,B两点，与轴交于C点，且的面积等于2，试确定的值。

分析：⑴令函数，则转化为求方程有两个不等的实根时的值；⑵利用根与系数的关系转化成解不等式；⑶建立面积的函数关系式，再求函数值为2时方程的解。

解析：⑴令据题意，须，

即。

⑵在得

所以m的取值范围是

⑶由。

点评：型的抛物线，二次方程以及二次不等式之间相互关联，应特别关注它们相互转化时的等价性和互补性。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

方程应用题篇8

1．用算术法解应用题的习惯影响。由用算术法解应用题到列方程解应用题，是一个学习方法上的飞跃。初学列方程解应用题时，对其思路尚未掌握，还习惯用算术法分析题目。

2．不会列代数式。四则概念不熟，理解不透，因而不会用已知数与未知数的和、差、积、商的形式列出代数式。

3．不会选择未知数，只会直接设元，不会间接设元。

4．不善于发现题中的等量关系，找不出题中相等的量，特别是对于较为隐蔽的等量关系更找不出，对于题中有几个等量关系，也不知如何运用。

5．不能有步骤有条理地分析题目，对于关系复杂，层次较多的题目抓不住线索，理不出头绪，不能有条理地进行分析。

以上是学生在学习列方程解应用题时普遍存在的问题。教师在教学时如果只是照本宣科，就题解题，不善于寻找规律，缺乏归纳总结，尽管学生在课堂上听得似乎明白，但把题目放给学生自己做，仍是束手无策，原因是教师没有交给学生开锁的钥匙，致使学生看见列方程解应用题就望而生畏。

针对上述原因，我在教学中抓住了如何找等量关系这个主要矛盾，采取了以下几方面的措施。

一、转变学生的解题思路

学生初学列方程解应用题时，我着重讲清列方程解应用题与算术法解应用题思路不同。后者，虽然也可以看作方程，但是它的一端一定是已知数，运算的结果正好等于另一端的未知数，是从“未知数等于什么”来考虑的。而前者，是把未知数当做已知数看待，一起参加运算，只考虑列出一个含未知数的算式就可以了，不必直接考虑未知数等于什么，这在思路上简便得多。

例1.某数减去1再乘以2得4，求某数。

分析：这是算术中的还原问题，用算术法考虑，将最后结果4除以2，再加上1就是某数，即某数=4÷2+1

用方程解，可设某数为X，依题意得：

2（X-1）=4

两者比较，可见用方程的方法比用算术法解，在思路上简便得多。

经过反复对比，再经一定数量的习题练习，学生的思路就逐步地由算术法转变到代数法了。

二、讲清如何寻找等量关系

找应用题中的等量关系，是解应用题的关键，根据题目特点，我从以下几个方面让学生寻找等量关系：

1、题目中的语言直接告诉了等量关系。

2、从公式中找等量关系

例3．用76厘米长的铁丝，做一个长方形的教具，要使它宽为16厘米，它的长应当是多少厘米？

分析：只要学生知道长方形的周长=2×（长+宽）即可，根据长方形周长公式列出方程。（略）

3、从同种量的不同表达式上找等量关系

例5. 甲、乙两个学生赛跑，每分钟的速度，甲比乙的2倍少100米，若乙先跑800米，甲从同一地点动身经8分钟二人同时到达终点，每分钟各跑多少米？

分析：赛跑距离一定，这个距离可用甲跑的距离的代数式表示，也可用乙跑的距离的代数式表示。这两个不同的代数式，代表着同一种量，从而找到了等量关系：8（2x-200）=8x+800（X为每分钟跑的距离）

三、如何布列议程

布列方程的关键是找等量关系。在全面审题的前提下，设出恰当的未知数，根据题目的普通语言译成数学语言（含未知数的代数式），采用“顺藤摸瓜”的方法，列出方程（即等式）。

例6.某工厂去年总产值比总支出多500万元，而今年总产值比总支出多950万元，已知今年的总产值比去年增加15%，总支出比去年减少10%，求去年的总产值和总支出。

分析：本题中数量关系较多，层次复杂，学生把握不了。这时可教给学生把各种量间的关系一一列出，然后寻找一个等式，把各种量再译成代数式。

去年总产值 去年总支出

今年总产值 今年总支出

表中箭头所指，表示两个量有直接关系，可以从一个关系式找到等式，然后再译成只含一个未知数的代数式。

若设去年总产值为未知数x，则有：

今年总产值=去年总产值×（1+15%）

今年总支出+950

去年总支出（110%）+950

（去年总产值-500）（110%）+950

于是得方程：

（x500）（110%）+950=x（1+15%）

我在教学实践中，采取上述措施后，效果显著，从下面几个题目的教学中，可略见一斑。

例8.原来甲乙二人每天都工作8小时，甲比乙每天多制造两个零件，如果每人都把制造一个零件的时间缩短8分钟，则甲比乙每天多制造3个零件，问原来每人每天制造几个零件？

学生掌握了找等量关系的方法后，想到“题中的语言直接告诉了等量关系”，抓住“甲比乙每天多制造3个零件”这个关系语句，很快找到了等量关系，又按如下思路，顺藤摸瓜，列出了方程：

解：设原来每天甲能制造x个零件，则乙每天制造（x-2）个零件。