古典概型与几何概型辨析

苏教版必修3第三章讲了《概率》，包括古典概型与几何概型，这两种概型的共同点是在随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件发生是等可能的．可它们又是两种不同的概型，同学们在解题时常常把这两种概型混淆，导致解题错误．这两种概型的区别到底在哪儿，我们又该如何区分这两种概型，对这两种概型如何求解？通过本文的分析，希望对同学们有所启发．

一、古典概型与几何概型的区别

例1 （1）在区间［0，10］上任意取一个整数x，则x不大于3的概率为_____________；

（2）在区间［0，10］上任意取一个实数x，则x不大于3的概率为_____________．

分析：本题中，问题1因为总的基本事件是［0，10］内的全部整数，所以基本事件总数为有限个11，而不大于3的基本事件有4个，此问题属于古典概型，所以所求概率为411．问题2中，因为总的基本事件是［0，10］内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，此问题属于几何概型，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间［0，10］长度为10，而事件“不大于3”对应区间［0，3］长度为3，所以所求概率为310．

小结：1．此题中的两个问题，每个基本事件都是等可能发生的，但是问题1中的总基本事件是有限个，属于古典概型；而问题2中的总基本事件是无限个，属于几何概型.故在实际解决问题中，关键要正确区分古典概型与几何概型．

古典概型中基本事件的个数是有限的，事件是可以数出个数的；而几何概型中基本事件是无限的，事件是不可以数出有多少个的，这是这两种概型的本质区别．

2．两种概型的概率公式．

古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率P（A）=mn；几何概型的概率公式：

P（A）=构成事件A的区域长度（长度或面积或体积或角度等）试验的全部结果所构成的区域长度（长度或面积或体积或角度等）．

例2 判断下列概率问题中哪些属于古典概型哪些属于几何概型：

（1）从一批产品中抽取30件进行检查，有5件次品，求正品的概率；

（2）随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率．

（3）箭靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？

（4）甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会面的概率．

对比古典概型和几何概型的特点，判断得（1）、（2）属于古典概型；（3）、（4）属于几何概型．

二、古典概型注意点

1．注意 “非等可能”与“等可能”

例3 掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3的概率．

错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，…，12}，属于事件A的结果只有3，故P（A）=111．

分析：公式P（A）=属于事件A的基本事件数基本事件的总数

仅当所述的试验结果是等可能时才成立，而取数值2和3不是等可能的，2只有这种情况（1，1）才出现，而3有两种情况（1，2），（2，1）可出现，其它的情况可类推．

正确答案 掷两枚骰子可能出现的情况：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），结果总数为6×6=36．

在这些结果中，事件A的含有两种结果（1，2），（2，1）．

P（A）＝236=118．

2．注意“可辩认”与“不可辨认”

例4 将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中去（每个盒子容纳球的个数不限），求事件A：“某指定的n个盒子中恰好各有一球的概率”．

错解：将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中，所有可能的结果数为Nn，而事件A含有n！种结果．

所以P（A）=n！Nn

分析：这种解法不全面，如果球是编号的（即可辨认的），则答案是对的；若球是不可辩认的，则答案完全错了．因为球是不可辩认的，故只考虑盒子中球的个数，不考虑放的是哪几个球．我们在此用符号“”表示一个盒子，“”表示球，先将盒子按号码排列起来

这样的N个盒子由N+1个“|”构成，然后把n个球任意放入N个盒子中，比如：|||…||，在这样的放法中，符号“|”和“”共占有：N+1+n个位置，在这N+1+n个位置中，开始和末了的位置上必须是“|”，其余的N+n-1个位置上“|”和“”可以任意次序排列．则N-1个“1”和n个“”在中间的N+n-1个位置上的可以区别的所有可能结果数是，将n个不可辨认的球放入指定的n个盒子，使每盒恰有一球的放法只有1种，故事件A含1个结果，从而

P（A）=1CnN+n-1=n！（N-1）！（N+n-1）！.

正解：分两种情况：

（1）当球是可辩认的，则P（A）=n！Nn；

（2）当球是不可辨认的，则P（A）=n！（N-1）！（N+n-1）！．

三、几何概型中注意点

解几何概型问题的关键是准确分清几何概型的测度．

例5 （1）等腰RtABC中，∠C=90°，在直角边BC上任取一点M，求∠CAM

（2）等腰RtABC中，∠C=90°，在∠CAB内作射线交线段BC于点M，求∠CAM

分析：此题组中的两个问题，很显然都是几何概型的问题，但是考察的测度不一样．问题1的测度定性为线段长度，当∠CAM0=30°时，CM0=33AC=33CB，符合条件的点M等可能的分布在线段CM0上，所以所求概率等于CM0CB=33．而问题2的测度定性为角度，过点A作射线与线段CB相交，这样的射线有无数条，均匀分布在∠CAB内，∠CAB=45°，所以所求概率等于∠CAM0∠CAB=30°45°=23．

此题中的两个问题都是几何概型的问题，但是选取的测度不一样，在解决时考察和计算的结果也不一致．可见在解决几何概型问题时，要认真审题，分清问题考察的测度，从而正确解决问题．

例6 某人午睡醒后，发现表停了，于是打开收音机等候整点报时，那么等待时间不多于10分钟的概率是多大？

解析：①这是什么概型，为什么？

②借助什么样的几何图形来表示随机事件与所有基本事件？（圆或线段）

③该如何建立数学模型？

解：设A=“等待时间不超过10分钟”，则P（A）=CBAB=60－5060=16或P（A）=S扇形1S圆=16

（2）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．

分析：某人醒来在整点间即60分钟是随机的，等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域，整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域，因此本题的变量可以看作是时间的长度，于是可以通过长度比公式计算其概率．

可设“等待的时间不多于10分钟”这一事件记作事件A，则

P（A）=等待的时间不多于10分钟时间长度所有在60分钟里醒来的时间长度＝1060=16；

显然这是一个与长度有关的几何概型问题，问题比较简单，学生也易于理解．

问题拓展：某人午觉醒来，发现表停了，则表停的分钟数和实际分钟数差异不超过5分钟的概率为多少？

分析：本题的特点在于学生易犯固定思维的错误，习惯性的用上题中的时间长度之比来解决，得到错误的答案560=112．学生错误的原因在于没有科学的认识题中的变量．本题中包含了两个变量，一个是手表停的分钟数，可以在［0，60］内的任意时刻，另一个变量是实际分钟数，也可以在［0，60］内的任意时刻．所以本题的解决应以x轴和y轴分别表示手表停的分钟数和实际分钟数，那么差异不超过5分钟的充要条件是|x－y|≤5，从而可以绘制坐标轴，数形结

合，得到结果．

由于（x，y）的所有可能结果是边长为60的正方形，差异不超过5分钟由图中阴影部分所表示，记“差异不超过5分钟”为事件A

因此，差异不超过5分钟的概率P（A）=602－552602=23144．

总之，如何解决概率问题，得首先分清是古典概型与几何概型，然后再用相应的方法来解题，关注解决两种概型的一些注意点．

（作者：汪云霞，如皋市第二中学）