初中数学建模及其教学应用的探究

【摘 要】数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。数学模型可以是方程、函数或其它数学式子，也可以是图表和图形。而数学建模就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题的全过程。初中数学建模教学的主要目的是要培养学生的数学应用意识、掌握数学建模的方法，为将来的学习和工作打下坚实的基础。因此，加强数学建模教学具有积极的意义。

【关键词】初中数学 数学教学 数学建模 应用

一、问题的提出

九年义务教育阶段的新数学课程标准强调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”和“体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的过程，并从中加深对相关知识的理解、发展自己的思维能力”。能够解决实际问题是学习数学知识、形成技能和发展能力的结果，也是对获得知识、技能和能力的检验，而“数学建模”是解决实际问题的有效途径。如著名的“哥尼斯堡七桥问题”是众多游客始终未能解决的难题，大数学家欧拉不是到桥上去试走，而是巧妙地运用数学知识把小岛、河岸抽象成“点”，把桥抽象为“线”，成功地构建出平面几何模型，成为数学史上用数学解决实际问题的经典。随着新数学课程标准中对数学应用能力要求的提高，在教学中结合教材内容进行数学建模势在必行。本文就初中数学建模及其教学问题做出探讨。

二、数学建模的内涵

我们把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构，称为数学模型。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。数学模型可以是方程、函数或其它数学式子，也可以是图表和图形。而数学建模就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题的全过程。

数学建模是一个“迭代”的过程，可以用一个框图来表示：

（1）模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息，用数学语言来描述问题。

（2）模型化简假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，抽象出主要关系，将实际问题理想化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

（3）模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。

（4）模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数进行计算（估计）。要结合实际问题，看结果是否合理，以修正可能出现的计算错误，甚至修正上一阶段建模的错误。

（5）模型分析验证：对所得的模型结果进行数学上的分析，将分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，进行解释，并看它能否应用到更一般的问题中去。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。

事实上，从方法论角度来看，数学建模是一种数学思想；从具体教学角度来看，数学建模是一种数学活动。数学建模作为问题解决的一种模式，它更完整地表现了学数学和用数学的关系，给学生再现了一种微型的科研过程，这对学生今后的学有益处。

三、初中数学建模教学的几个原则

1.教师意识先行原则。在教学活动中起主导作用的教师首先应具有数学建模的自觉意识，从我做起，从小事做起，更新教育观念，不断积累和更新专业知识，不断在教学过程中用自己的数学建模意识去熏陶学生，在看似没有数学建模内容的地方，不满足于表层的感知，挖掘出训练数学建模能力的内容，给学生更多数学建模的机会，使他们形成良好的思维品质。

2、因材施教原则。因材施教原则是教育教学的一条基本原则。在初中数学建模教学中，首先应选择学生身边的实际问题，使学生能建立比较好的、考虑比较周到的数学模型，真正体会到数学的应用；其次数学应用与建模主要应控制在“简单应用”和一部分“复杂应用”的水平上，教师可以通过一些不大复杂的应用问题，带着学生一起来完成数学化的过程，给学生一些数学应用和数学建模的初步体验；最后应根据每个人的原认知结构不同，而以不同的方法施教。

3.近体原则。近体原则是指在教育教学过程中，教与学之间在时间、空间的距离、心理及情感等方面的差异尽量缩小，在有限的时间内，达到满意的教育教学效果。首先，在中学数学建模教学中，师生要不断吸收新知识、新信息和新材料，及时了解社会热点问题，把课本内容引出课堂，把生活实践引入课堂，用课本知识分析解决社会热点问题。如对课本中出现的应用问题，可以改变设问方式、变换题设条件，互换条件结论，拓广类比成新的数学建模应用问题；对课本中的纯数学问题，可以依照科学性、现实性、新颖性、趣味性、可行性等原则，编拟出有实际背景或有一定应用价值的建模应用问题，使学生受到如何将实际问题数学化、抽象为数学问题的训练。适当的选取社会热点、市场经济中涉及诸如成本、利润、储蓄等素材，使学生掌握相关类型的建模方法，为日后能主动以数学的意识、方法、手段处理问题提供了能力上的准备。其次，教师应从实际出发，了解学生的身心发展规律，通过创造性的思维和实际，引起学生的有意注意，诱发学生的思维与探讨，从而达到最佳的教学效果。特别是我们在课堂上要留有适当的时间给学生思考与探讨，让学生自己发现，不但能使数学课堂充满活力，而且能够大大提高学生的学习效率。最后，教师应适时地让学生在自己动手动脑中寻求发展，在实践中体验数学，在活动中学数学、用数学，真正实现从传统的教师中心向学生中心的转变。

4.课内课外相统一原则。和提高学生其它素质一样，培养学生的数学建模能力，也应向课堂要质量，把数学应用和数学建模与现行数学教材有机结合，把应用和数学课内知识的学习更好地结合起来。教师应特别注意向学生介绍知识产生、发展的背景；引导学生了解知识的功能和在实际生活中的作用，引导学生在学中用、在用中学。另一方面，由于数学建模是与实际问题密不可分的，仅仅在课堂上是学不好的，还必须走出教室，利用课外活动时间开展实践活动，把课内课外有机地统一起来。学生能动地参与了建模的各个环节，在问题解决的全过程中得到实际体验，亲身体会到数学探索的愉悦，就会对数学的学习产生浓厚兴趣。

5.科学性原则。首先，实际应用的数学问题有时过难，不宜作为教学内容，有时过易，不被人们重视，因此在中学阶段应介绍哪些数学建模理论和方法，须作科学合理的安排。其次，数学建模非常有用，但我们还应强调数学应用的科学性，使他们能以批判的、慎重的态度对待数学的应用。

四、数学建模在初中数学教学中的一些应用

初中数学中的许多问题，都可以通过建立数学模型，创造性地求解。下面根据建立数学模型所需的数学知识和方法进行分类探究。

1.利用等量关系，建立方程模型

例1 在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量，三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：二环路车流量每小时为10000辆；乙同学说：四环路比三环路车流量每小时多2000辆；丙同学说：三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍。请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？

分析：此题已知三个常量之间的关系，通过建立方程模型来解决。在建立方程模型时，应注意寻找问题中的已知量、未知量之间的等量关系来建立方程。

解：设高峰时段三环路的车流量为每小时x辆，则高峰时段四环路的车流量为每小时(x+2000)辆。根据题意，得3x-(x+2000)=2×10000。解这个方程，得x=11000。故x+2000=13000。

答：高峰时段三环路、四环路的车流量分别为每小时11000辆和13000辆。

2.利用不等关系，建立不等式模型

例2 某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出一种“购买个人年票”的售票方法(个人年票从购买日起，可供持票者使用一年)，年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时无需再购买门票；B类年票60元，持票者进入园林时，需再购买门票每次2元；C类年票每张40元，持票者进入园林时，需要购买门票，每次3元。求一年中进入园林至少超过多少次时，购买A类门票比较合算？

分析：本例是以旅游为背景消费决策问题，可利用购买A类门票者的总费用比其他三种都少的不等关系，建立不等式组模型求解。

解：设至少超过x次购买A类门票比较合算，则有：

故一年中进入园林至少超过30次时，购买A类门票比较合算。

3.利用变量关系，建立函数模型

例3 某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.

(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y个，请你写出y与x之间的关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？

分析：此题属于二次函数模型应用问题，解答的关键是掌握二次函数的一般形式及二次函数的最值性质。

解：（1）根据题意得，y=(80+x)(384-4x)。整理得，y=-4x2+64x+30720。

（2）y=-4x2+64x+30720=-4(x-8)2+30976。当x＝8时，y最大＝30976。

即增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是30976件。

4.利用数据分析，建立统计模型

例4 某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况：

同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个求，问投进3个球和4个求的各有多少人。

分析：题目涉及到数据的收集、整理和分析，由题意可建立平均数的统计模型求解。

解：设投进3个球的有x个人，投进4个球的有y个人由题意，得

经检验：x=9,x=3是原方程组的解。

答：投进3个球的有9个人，投进4个球的有3个人。

5、利用图形性质，建立几何模型

几乎每一个几何定理都有一个对应的图形，这个图形就可以看作几何的基本图形。只要熟悉了这些定理及其图形，就可运用这些图形的性质建立几何模型来解决一些实际问题。

(1)线形模型

例5 如图，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）

A、一处B、二处 C、三处D、四处

分析：三条公路可看作是三条直线，油库可看作是一个点，于是问题可抽象为：已知ΔABC在平面内求出到此三角形三边距离都相等的点的个数。

解：由三角形的性质知道，满足条件的点共有四个：ΔABC的内心（1个）、旁心（3个），故选D。

（2）三角形模型

例6 如图，甲、乙两楼相距36m，高楼高度为30m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶的仰角为30°，问乙楼有多高（结果保留根式）？

解：如图所示，作AECD，E为垂足。

则AE=BD=36m，DE=AB=30m。

答：乙楼高为(30+123)m。

（3）圆模型

例7 采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移到400米以外的安全区域；导火线燃烧速度是1厘米/秒，人离开的速度是5米/秒，至少需要导火线的长度是()

A. 70厘米 B. 75厘米 C. 79厘米 D. 80厘米

解：以爆破点（点O）为圆心，400米为半径画圆（如图）。

要确保安全，点A（工人）与圆O（非安全区域）的位置关系是：点A在圆O上或圆O外，即OA≥400米。设需要导火线的长度是x厘米，则x1≥4005，解得x≥80。所以至少需要导火线的长度是80厘米。故选D。

（4）特殊的四边形模型

例8 如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，ECBC，BA∥DE， BD∥AE．甲、乙两人同时从B站乘车到F站．甲乘1路车．路线是B―A―E―F；乙乘2路车，路线是B―D―C―F．假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站．请说明理由。

解：建立如图所示的几何模型，并连结BE，交AD于G。

故BA+AE+EF=BD+DC+CF。两人同时到达F站。

初中数学建模教学的主要目的是要培养学生的数学应用意识、掌握数学建模的方法，为将来的学习和工作打下坚实的基础。因此，加强数学建模教学具有积极的意义。希望本文的探讨，能为促进数学建模教学起到抛砖引玉的作用。

参考文献：

[1]顾日新.浅谈中学数学建模教学的设计原则.南京师范大学数科院.

[2]周建峰.“近体原则”在中学数学建模教学中的应用.浙江师范大学附中.

(作者单位：广东惠州市第五中学)

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文