因式分解新题典例

因式分解是中学数学的重要的恒等变形，也是中考命题的热点。有关因式分解的问题，已不再是传统单一的题型，新颖别致的创新型试题频频出现在近年各地中考试卷中，给人耳目一新的感觉．现举例予以说明。

一、开放探索型

例1（辽宁省锦州市）若多项式4a2＋M能用平方差公式分解因式，则单项式M=____（写出一个即可）。析解：本题是一道开放型试题，答案不惟一．要使多项式4a2＋M能用平方差公式分解因式，只要M是一个平方数或平方式的相反数即可．如：－16或－ 或－(b+c)2等。

例2（山东省威海市）将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式：

，，。

解析本题是一道开放型试题，答案不惟一。若x2+4中的x2、4两项分别是完全平方公式（a+b）2=a2＋2ab＋b2中的a2、b2，其中x、2分别相当于公式中的a、b，此时所加的单项式是±2×x×2，即±4x；若x2、4两项分别是完全平方公式（a+b）2=a2＋2ab＋b2中的2ab、b2，其中2相当于公式中的b，由2a×2=x2，知a= ，此时所加的单项式是( )2，即 x4；另外题中的“整式x2+4加上另一个整式是完全平方式”也包括单项式，所以添加的单项式还可以是－4，－x2。故所添加的整式是4x，－4x， x4，－4，－x2等中的任何一个。

二、数形结合型

例3（汉川实验区）如图1－1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小明将图1－1的阴影部分拼成了一个矩形如图1－2。这一过程可以验证（）

A、a2+b2-2ab=(a-b)2

B、a2+b2+2ab=(a-b)2

C、2a2-3ab2+b2=(2a-b)(a-b)

D、a2-b2=(a+b)(a-b)

解析图1中阴影部分的面积可以看作是边长分别为a、b的两个正方形的面积的差，图2中阴影部分的面积可以看作是长、宽分别为a+b、a-b的长方形形的面积，这两图中的阴影部分的面积相等，从而可得：a2-b2=(a+b)(a-b)。

三、构造密码型

例4 （浙江省）在日常生活中如取款、上网等都需要密码。有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式x4-y4，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x－y）=0，（x＋y）=18，（x2＋y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码。对于多项式4x3-xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是： （写出一个即可）。

解析先将多项式4x3-xy2因式分解，可得4x3-xy2=x（4x2－y2）=x（2x）2－y2=x（2x＋y）（2x－y）。取x=10，y=10时，则各因式的值是：x=10，（2x＋y）=30，（2x－y）=10，于是就可以产生密码：101030，或103010，或301010。

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