浅析因式分解解题策略

解题策略是指在解题过程中,从宏观的角度来考虑解题途径的思想方法,在平时的学习中,我们比较重视数学思想方法的领悟和使用,而对解题策略总结和关注得较少,这种情况导致部分同学尽管数学基础较好,可是遇到一个新问题却无从下手,不知所措,这里通过几个案例来说明因式分解解题时几种解题策略,仅供读者参考。

一、优化解题方法 培养解题速度

在数学课堂教学中要引导学生认真分析题意,合理运用分解因式的一般思路,让学生理解“一提,二套,三分组,”含义,实质就是首先考虑能否提取公因式,其次考虑能否套用公式,最后考虑分组分解。另外,因式分解一定要注意必须分解到每个因式不能再继续分解为止。

案例1.分解因式:m3-mn2

分析:引导学生观察分析,原分解式中含有公因式m,因此首先提取公因式m,同时注意到提剩下的多项式为m2-n2,又可以运用平方差公式,再继续分解因式。

解:原式=m(m2-n2)=m(m+n)(m-n)

评注:此案例,首先应指导学生观察分析,属于哪种类型,然后探索运用何种方法或策略解题,这是研究本案例关键所在,因此,在教学中教者要引导学生重视、掌握解题技巧。

二、在分式中应用 培养解题策略

在进行分式的运算时,与因式分解有着密切关系,分式的乘除的本质是化成乘法后,约去分式的分子和分母中的公因式,因此往往要对分子或分母进行分解因式,然后找出其中的公因式,再把公因式约去,从而达到化简的目的。

案例2.先化简,再求值:2a/(a2-4)+1/(2-a),其中a=1/2。

分析:本案例是分式的求值问题,要先把给出的式子化简,原式中的两个分式的分母不同,要先把原式中的各个分母因式分解,确定最简公分母,通过通分转化为同分母分式的加减法进行计算,最后的结果化为最简分式,然后把已知的a的值代入求值.

解:原式=2a/(a+2)(a-2)-1/(a-2)=[2a-(a+2)]/(a+2)(a-2)=(a-2)/(a+2)(a-2)=1/(a+2)

当a=1/2时,原式=2/5

评注:因式分解在分式的化简运算中有非常重要的作用,在教学中要引导学生高度重视,要掌握常用的分解因式的方法。

三、探索规律题型 活用因式分解

探索规律列代数式是近几年中考的热点,根据一组特例或一列数进行归纳、猜想,运用因式分解找出一般规律,进而列出代数式,解答此类问题,一要注意审题,二要找出规律后加以验证。

案例3.观察下列等式

39×41=402-12,48×52=502-22,56×64=602-42,65×75=702-52,83×97=902-72,…,请把你发现的规律用字母表示出来:mn=

分析:观察给出的特殊等式,即从39×41=402-12知40=(39+41)/2,1=(41-39)/2;从48×52=502-22知50=(48+52)/2,2=(52-48)/2,…,不难猜想:mn=[(m+n)/2]2-[(m-n)/2]2。

证明:[(m+n)/2]2-[(m-n)/2]2=[(m+n)/2+(m-n)/2][(m+n)/2-(m-n)/2]=mn

mn=[(m+n)/2]2-[(m-n)/2]2成立。

答案:[(m+n)/2]2-[(m-n)/2]2

评注:这是一道运用因式分解知识归纳与猜想型探索题,解答时用的是归纳法,即从个别的、特殊的、具体的事例出发,推出整体的、一般的、抽象的一类事物的共同性结论的思维方法。由特殊事件的结果推出的一般性结论(规律),往往与数、式子有关,这是解本案例的难点,在今后教学中,要加强这方面的训练。

四、在生活中应用 培养综合能力

整式与实际生活密切联系,分解因式在实际生活中有着广泛的应用。因此,在教学中,要设计生活中的典型事例,培养学生分析问题和解决问题能力,同时进行加强发散思维的训练。

案例4.在日常生活中如取款、上网等都需要密码。有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,原理是:如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码。对于多项式4x3-xy2,取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码是 (写出一个即可)。

分析:本案例是因式分解在生活中的一个具体应用题目,实质是把多项式因式分解后求多项式的每一个因式的值,4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x+y)(2x-y),取x=10,y=10时各个因式的值分别是x=10,2x+y=30,2x-y=10,所以产生的密码可以是103010,本案例答案不唯一(是一个开放题型)

答案:103010

评注:解决本案例的关键是要读懂题意,按题目的要求进行运算,从本案例我们也学到了因式分解的一种新的应用。

总之,在数学课堂教学中,我们要充分挖掘教材,注意教学规律,运用多元方法,掌握学生认知规律,发挥学生主体能动性,探索解题方法及技巧,为更加体现课堂教学的有效性而努力奋斗。

作者单位:江苏省阜宁县芦蒲初级中学