详谈因式分解问题

摘要:因式分解是中学数学中的一个重要的恒等变形问题,它通过对多项式的因式分解,能帮助我们把一个原来颇复杂的问题化为较简单的问题来解决。

关键词:因式;分解;问题

中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1003-2851(2009)09-0068-01

因式分解是中学数学中的一个重要的恒等变形问题,它通过对多项式的因式分解,能帮助我们把一个原来颇复杂的问题化为较简单的问题来解决。文章对初学者易犯得几种错误进行了分析并提出了解决办法。

因式分解作为中学数学中的一个很重要的恒等变形问题,它通过对多项式的因式分解,把一个原来复杂的问题化为简单的问题来解决。同时因式分解又与整式乘法密切相关,还与解一元二次方程紧密相连,因式分解掌握的如何,直接影响着对一元二次方程的解法的掌握。因此,学好因式分解至关重要。在解题过程中,初学者容易出现以下的几种错误:

1.分解不彻底

例如:分解因式x6-y6

解原式= (x2)3-( y2)3=(x+y)(x-y)(x4+x2y2+y4)

分析:因式分解要分解到不能再分解为止,上题中的因式x4+x2y2+y4还可以继续分解。

x4+x2y2+y4=[( x2+ y2)-(xy)2]= (x2+ y2+xy)( x2+ y2- xy)

2.走回头路

例如:分解因式x4-y4

解原式=( x2+ y2) ( x2- y2) =( x2+ y2) (x+y)(x-y)

=( x2+ y2) ( x2- y2)

分析:由于对乘法运算太熟练,“乘”的意识太强了,因式分解已完成又习惯性地作了乘法运算。

3.结果不是“积”

例如:分解因式:x3-2x2+x-2

解原式=x(x2-2x+1)-2 =x(x-1)2-2

分析:只注意到结果中的x(x-1)2是积的形式,却忽略了小尾巴“-2”使积成了和,应该这样做原式=(x3-2x2)+(x-2)=( x-2)( x2+1)

4.因式中出现分式

例如:分解因式:x4-1

解原式=(x2)2-1=( x2+1)( x2-1)= x2(1+ 1/x2)( x-1)(x+1)

分析:因式中出现了分式1/x2,原因是因式(x2+1)已不能再提取公因式分解,应当是原式=( x2+1)( x2-1)=( x+1)( x-1) ( x2+1)

5.结果未化简

例如:分解因式:16(a-b)2-9(a+b)2

解原式=[4(a-b)]2-[3(a+b)]2=[4(a-b)-3(a+b)] x2y

分析:方括中的因式未进行化简,结果应当是(7a-b)(7a+b)

6.相同因式没有写成幂

例如:分解因式:x3+ x2y- xy2-y3

解原式=( x3+ x2y)-( xy2+y3)= x2(x+y)- y2 (x+y)

=( x+y) (x2- y2)=( x+y) ( x+y) ( x-y)

结果应当写成:( x+y)2( x-y)

上述种种错误的出现都是由于没有正确地理解因式分解的内涵。因此正确分清因式分解的思路及解题步骤,熟练地掌握和灵活地运用因式分解的方法,就显得尤为重要。

因式分解的方法有如下几种:

1.提公因式法提公因式法是因式分解中最基本的方法,用这种方法进行因式分解的关键是确定多项式的公因式――各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积,同时要注意:公因式要提尽;小心不要漏掉“1”;首项取正号;公因式是多项式时,要留心符号问题。

例1 分解因式:-27 x2y+18 xy2-9xy

分析:多项式的 首项系数为负数,需要把“-”提出,使多项式的首项系数为正数,同时注意不要漏掉“1”。

解原式=-9xy(3x-2y+1)

点评:运用提公因式法分解因式,公因式一定要提尽,且多项式的项数与提取公因式后得到的因式的项数相同。

2.公式法运用公式法分解因式,关键是观察多项式的项数、各项的次书和系数是否符合公式的特点,若多项式是二项式,可考虑运用平方差公式;若多项式是三项式,可考虑运用完全平方公式。在运用公式法分解因式时,要注意:先观察是否有公因式可提,然后再考虑是否符合公式的形式;公式中的字母,可以表示一个数、一个单项式或者一个多项式。

例2 分解因式:x3y2-4x

分析:该多项式有公因式可提,提取公因式得到的多项式为x2y2-4,此多项式符合平方差公式的形式。

解原式= x(x2y2-4)= x[(xy)2-4]= x(xy+2)( xy-2)

点评:分解因式必须进行每一个因式不能再分解为止。

3.十字相乘法

十字相乘法是针对ax2+bx+c型二次三项式的一种因式分解法,使用该方法应注意:分解常数项时,要留心所分解两因数的符号;“十字”交叉相乘的积的和为一次项系数。

例4 分解因式:3x2+x-10

分析:二次项系数为质数3,可分解为1×3,常数项-10可分解成异号两因数的积。

解:原式=(x+2)(3x-5)

点评:利用十字相乘法分解二次三项式,遇到二次项系数和常数项不是质数时,通常要多试几遍,以配得一次项系数为止。

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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