因式分解初探

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1007-0745（2014）01-0048-01

一、常用方法

（1）提取公式法：利用分配律把公因式提到根号外。

（2）分组分解法：将多项式的项分组，使分组后有公因式可提。

（3）公式分解法：把基本乘法公式反过来应用作分解因式的公式。

（4）十字相乘法：在分解ax2+bx+c的因式时，只要找到四个数a1、a2、c1、c2满足条件：a1·a2=a，c1·c2=c，a1·a2+ a2+ c1=b即可。

二、进一步的方法

（5）若多项式f（x）的关于x的奇数次方的系数之和偶数次方（包括常数项）的系数之和相等，且符号相同，则一定有（x+1）的因式。

例：x3+x2-2x-2

解：x的奇数次方的系数之和为-1，偶数次方的系数之和为-1，x-1=-1，x3+x2-2x-2有因式（x+1），用综合除法可得另一因式为（x2-2），原式=（x+1）（x2-2），再讨论（x2-2）的分解方法（在实数范围内）。

（6）若多项式f（x）的关于x的奇数次方的余数之和与偶数次方的系数（包括常数项）之和的绝对值相等，符号相反，则一定有（x-1）的因式。

例：x4+x3-4x2+2x

解：奇数次方的系数之和为+3，偶数次方的系数之和为-3，它们的绝对值相等，符号相反，x-1是它的因式，用综合除法可求得另一因式为x（x2+2x-2），原式=x（x-1）（x2+2x-2），再讨论（x2+2x-2）继续分解的问题。

（7）若多项式f（x）的两项余数为1，且有因式（x±a），则a一定是f（x）的常数项的因数。

例：x2+2x2-3x-10有因式（x-2），而2是10的因数，用综合除法可求另一因式，对另一因式，再讨论继续分解的问题。

（8）若多项式f（x）的首项余数不为1的整数，且有因式（x±），则m一定是常数项的因数，n为首项整数的因数。

例：2x2-10x2-8x3-3x2+10x+8

有因式（x+），而2是8的因数，3是3的因数，用综合除法可求得另一因式，对另一因式再讨论继续分解的问题。

（9）用观察法视多项式的根，若f（a）=0，则（x-a）是f（x）的因式。

例：x3+2x2-3x-10 23+2·22-3·2-10=0；它有因式（x-2），用综合除法可求另一因式，对另一因式再讨论继续分解的问题。

（10）待定系数法分解因式：

例：3x2-5xy-2y2+x+5y-2

解：由于3x2-5xy-2y2=（x-2y）（3x+y），所以，设

原式=（x-2y+a）（3x+y+b）

=3x2-5xy-2y2+xb-2by+ab+3ax+ay

=3x2-5xy-2y2+（3a+b）x+（a-2b）y+ab

3a+b=1

比较系数法：a-2b=5

ab=-2

解之得：a=1 b=-2

原式=（x-2y+1）（3x+y-2）

（11）对于含有x、y的二次多项式，可用求根公式分解因式：

例：3x2-5xy-2y2+x+5y-2

解：将多项多式变为：3x2+（1-5y）x-（2y2-5y+2）

解关于x的二次方程：3x2+（1-5y）x-（2y2-5y+2）=0

得x=2y-1及x=-y+2/3

原式=l[x-（2y-1）][x-]令x=0，y=0

有-2=l[-1][- ] l=3

原式=3（x-2y+1）x-（-y+2/3）

=（x-2y+1）（3x+y-2）

（12）对于x、yr的二次齐次多项式，可令y=1，对x分解因式后配上y。

例：3x2-5xy-2y2

解：令y=1，则原式变为：3x2-5x-2=（x-2）（3x+1）

原式=（x-2y）（3x+y）

三、特殊方法

（13）若整系数多项式f（x）是n次的，g（x）是m次的，且n>m，若g（x）的所有根都是f（x）的根，则g（x）是f（x）的因式：

例：x10+x5+1

解：x2+x+1的两个根都是x10+x5+x1的根，事实上

由x2+x+1=0即：x+1/x=-1

（1）2得：x2+（1/x）2（2）

（1）3得：-1=x3+3x2·+3x·1/x+3x2·1/x2+1/x3

=x5++3x+3·=x3++3·（-1）

x3+1/x3=2

（2）x（3）得：x5+x2/x3+x3/x2+1/x5

即：x5+1/x5-1=-2

即：x10+x5+1=10的两个根。

x2+x+1是0 x10+x5+1的因式是另一个因式用多项式竖直除法得：

x8-x7+x5-x4+x3-x+1

原式=（x2+x+1）（x8-x7+x5-x4+x3-x+1）

（14）利用等比数列前几项和公式分解因式

例：x10-1

解：x10-1=（x5+1） （x5-1）=（x+1）··（x-1）·1-（-）x5/1-（-x） （x-1）·（1-x5/1-x）

= （x+1）

（1-x+x2-x3+x4）（x-1）（1+x+x2+x3+x4）=（x+1）（x-1）（1-x+x2-x3+x4）

（1+x+x2+x3+x4）

（15）形如（x+a）（x+b）（x+c）（x+d）+k的多项式分解因式法：

方法和要点：在a.b.c.d中选取其两个之和等于另两个之和

例：（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-105

解：原式=[（x+1）（x+7）][（x+3）（x+5）]-105

=（x2+8x+7）（x2+8x+15）-105

=[（x2+8x）+7][（x2+8x）+15]-105

=（x2+8x）2+22（x2+8x）+105-105

=（x2+8x）（x2+8x+22）

=x（x+8）（x2+8x+22）

（16）利用解倒数方程的方法来分解因式：

例：x4+3x2+2x2+3x+1

这类方程的特点是：与前两项的距离的项目的系数相同，且项数是奇数。

解：原式=x2[x2+3x+2+]

= x2[x2++3（x+）+2]

=x2[（x2+2+）]-2+3（x++2）

= x2[（x+）2]+3（x+）

=x2[（x+）+3]（x+）

=x2[x+][（ x++3）]

=[x+（ x+）][x+（ x++3）]

=（x2+1）（x2+3x+1）

注：形如x5+4x4+5x3+5x2+4x+1也具有上述的特点，但项数为偶数，由于奇数次方的项的系数之和等于偶数次方的项的系数之和，且符合相同，所以，x+1是它的因式，用综合除法可求后另一因式，而另一因式就成为例中的形式3。