“因式分解”的巧分解

因式分解是乘法公式的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系。学生在解因式分解题时，往往会发生结果不是乘积形式，分解不测底等错误，如何让学生真正会分解、巧分解呢？对于初中阶段，常用的因式分解方法有：提公因式法、公式法、十字相乘分组分解法等。

【例1】 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）。

A.a（x+y）=ax+ay

B.y2-4y+4=y（y-4）+4

C.10a2-5a=5a（2a-1）

D.y2-16+y=（y+4）（y-4）+y

答案：C

分析：此题是考查对因式分解的理解，A是整式乘法，B、D等号右边不是整式积的形式，而是和的形式，不是因式分解。

【例2】 把多项式6a3b2-3a2b2-12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（ ）。

A.3a2b B.3ab2

C.3a3b3 D.3a2b2

答案：D

分析：在多项式6a3b2-3a2b2-12a2b3中，这三项系数的最大公约数是3，各项都含有字母a，b，字母a的最低次幂是a2，字母b的最低次幂是b2，所以各项的公因式是3a2b2，故选D。

确定公因式的方法：（1）对于系数（只考虑正数），取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；（2）对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幂。最后还要根据情况确定符号。

【例3】把下列多项式分解因式：

（1）a2（x-y）+4b2（y-x）；（2）2x2y-8xy+8y

分析：（1）因式分解的平方差公式

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即a2-b2=（a+b）（a-b）。

这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来。

（2）因式分解的完全平方公式

两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2。

①直接提取公因式（x-y），进而利用平方差公式进行分解即可；

a2（x-y）+4b2（y-x）=（x-y）（a2-4b2）=（x-y）（a+2b）（a-2b）；

②直接利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解即可；

2x2y-8xy+8y=2y（x2-4x+4）=2y（x-2）2.

【例4】把下列多项式分解因式：

（1）3ax2-6ax-9a；（2）3x2+7xy+2y2

分析：（1）首先提取公因式3a，进而利用十字相乘法分解因式得出；3ax2-6ax-9a=3a（x2-2x-3）=3a（x-3）（x+1）.

（2）对于x2的系数不为1，我们可将系数化为1×3，3x2+7xy+2y2=（x+2y）（3x+y）；上述方法，就是十字相乘法，对于十字相乘法，书本中在“阅读与思考”中出现，没有直接讲授，而是让学生自己去探索，主动建构因式分解的方法。学生可以逆向思考从整式乘法入手，即先确定因式分解的形式，x2+px+q=（x+a）（x+b），再确定a，b的值。让学生初步体会待定系数法及方程思想。把这种方法竖式表示出来，就得到了十字相乘法。

【例5】把下列多项式分解因式：

（1）4a2-b2-4a+1；（2）4（x-y）2-4x+4y+1

分析：（1）首先将4a2-4a+1组合，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解即可；

4a2-b2-4a+1=（4a2-4a+1）-b2=（2a-1）2-b2=（2a-1+b）（2a-1-b）；

（2）将（x-y）看作整体，进而利用完全平方公式分解因式即可；

4（x-y）2-4x+4y+1=4（x-y）2-4（x-y）+1=[2（x-y）-1]2=（2x-2y-1）2

上述方法就是分组分解法，分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：

ax+ay+bx+by=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）

因式分解时，根据多项式的特点灵活选择分解因式的方法是关键，其一般步骤可概括为：一提、二套、三分组、四查。一提：如果多项式的各项有公因式，首先考虑提取公因式；二套：提公因式后或没有公因式可提，就要考虑运用公式法，即平方差公式或完全平方公式；三分组：就是合理分组再分解：四查：因式分解一定要分解到不能分解为止，要检查每个因式是否还可以继续分解。