因式分解常见错误剖析

因式分解是初二数学的重要内容，也是代数的重要基础工具，其应用非常广泛。因式分解是代数式的一种重要恒等变形，扎实细致地学好这部分内容将会为后面的学习奠定坚实的基础。《数学课程标准》虽然降低了因式分解的特殊技巧的要求，对因式分解常用的四种方法减少为两种，且公式法的应用，也减少为两个公式，但丝毫没有否定因式分解的教育价值及其在代数运算中的重要作用。教材是在学生学习了整式运算的基础上提出该知识点的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系。分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且是解决后续分式的化简、解方程等恒等变形的基础，为数学交流提供了有效的途径。分解因式的教育价值还体现在使学生接受对立统一的观点，培养学生善于观察、善于分析、正确预见、解决问题的能力。

一

1.提公因式法是因式分解的最基本的方法，也是最常用的方法，它的理论依据是乘法分配律。在讲解时可以先复习单项式除以单项式，然后练习寻找公因式，提出公因式后再用多项式除以单项式的方法就是提公因式法。

2.运用公式法的关键是熟悉各公式的形式和特点。对初学者来说，如何根据要分解的多项式的形式特点（项数、系数、指数）来选择用什么公式，往往不是很容易，这也是运用公式的难点。因此在教学中应注意分析实例，指明思路、交代方法，以便克服难点。

3.运用十字相乘法进行因式分解，让学生注意观察该二次三项式的特征:（1）二次项系数为1;（2）常数项能分解成两个数的乘积;（3）这两个数的和恰好为一次项系数，只有满足这样特征的二次三项式才能用十字相乘法进行正确的因式分解。

4.保证基本的运算技能的落实，避免繁杂的题型训练。符号运算在数学运算中是必不可少的，运用提公因式法和公式法分解因式是本章的一个重点，由于因式分解在后面几章的学习中还可以继续巩固，因此教学中要依据教材的要求，适当地分阶段进行必要的训练，使学生在具备基本的运算技能的同时，能够明白每一步的算理。在讲解的同时，注意问题背景;注意由易到难，符合学生的认知;注意观察学生的思考层次。

二

部分学生在学习因式分解时会出现一些偏差。我将他们在作业中出现的错误进行了归纳整理，并加以简单剖析如下。

1.周而复始型错误。因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式。但是在分解过程中，部分学生会将分解好的结果再乘回去，如：x-1=（x+1）（x-1）=（x+1）（x+1）（x-1）=（x+1）（x-1）=x-1。造成错误的原因是学生对因式分解的概念理解不清，混淆了因式分解与整式乘法的意义。

2.张冠李戴型错误。出现此类错误的原因是学生对公式的意义理解不透所致。如：4a-9b=（4a+9b）（4a-9b），对于平方差的意义应是表示两个数的平方差等于这两个数的和与差的积。本例中的4a-9b表面形式上是不符合要求的，应变形为（2a）-（3b）以后才能利用因式分解。

3.无中生有型错误。所谓无中生有型主要是针对于多项式的系数是分数而言的。如x+xy+y=x+4xy+4y=(x+2y)。原多项式中的系数是分数，而变形后的系数为整数，恰好可以利用完全平方公式分解。去分母是在等式中进行的，而不能硬搬到代数式中去。

4.不翼而飞型错误。这种错误经常出现在提公因式法分解因式中，如3x-6xy+x=x（3x-6y）=3x（x-2y）。在第一步提公因式x后，漏掉了“1”这一项，使得一个三项多项式提公因式后变成了两项式。

5.半途而废型错误。顾名思义，这类错误是由于分解不彻底而产生的。如（a+b）-4ab=（a+b）-（2ab）=（a+b+2ab）（a+b-2ab），此题还能利用公式法继续分解为（a+b）（a-b）。

6.顾此失彼型错误。利用十字相乘法分解因式时，学生常会出现这样的错误。如x-5x+6=（x-6）（x-1）。错误原因是只顾了把6分解成1与6，而忘了是否1与6的和等于一次项系数-5这个条件。

7.断章取义型错误。如-4x-4xy-y=-4x（x-y-y），只看到了第一项与第二项中的公因式-4x，而误认为-4x就是原多项式的公因式了。

8.以积代幂型错误。这类错误出现在对分解最后结果的处理上，如x-y+x2y-xy=x（x+y）-y（x+y）=（x+y）（x-y）=（x+y）（x+y）（x-y）将两个相同因式（x+y）的积应写成幂（x+y）的形式，犯了书写形式不规范的错误。

9.概念理解不透。如：6xy+3xy+12xy=xy(6x-3y+12xy)，原因是对公因式的概念没有完全理解，而忽略了数字因数。又如：a+3a-4=a(a+3)-4，就没有把一个多项式从整体上化成几个整式乘积的形式。

以上9种错误是学生平时作业中最易出现的，在日常的教学中我们应该引起足够的重视，尽量避免这些错误的发生。

总之，因式分解的错误原因很多，要认真审题，牢记分解方法，并能灵活运用，以下口诀同学们在分解过程中不妨试一试，以避免错误:因式分解并不难，分解方法要记全；各项若有公因式，首先提取莫迟缓；各项若无公因式，乘法公式看一看；以上方法若不行，分组分解做试验；因式分解若不完，继续分解到完全。

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